Примерни задачи за кандидатстване след 8 клас - част 2

1. Да се реши уравнението:

2. Дадено е уравнението

3. Да се реши относно x уравнението:
mx² + 2m - x + m + 1 = 0;

4. Дадено е уравнението x² - (a + 1)x + 2a = 0, където a е реален параметър.
а) Да се определи за кои стойности на a уравнението има различни реални корени.
б) Да се реши уравнението за стойностите на a, за които |a + 1| = 7.

6. Двама трактористи изорали заедно блок от 1000дка. Първият изорал 51% от цялата площ, като работил един ден по-малко от втория и изоравал 15дка. на ден повече от втория. Да се намери:
а) колко дни е работил всеки от трактористите;
б) по колко декара на ден е изоравал всеки тракторист;

7. Работник трябва да произведе известни количество еднакви машинни части за определен срок. Ако той изработва дневно по 10 части повече от нормата, работата ще бъде свършена за 3 дни преди срока, а ако изработва дневно по 5 части по-малко, ще закъснее с 3 дни. Колко машинни части и за какъв сток трябва да изработи работникът?

8. Разстоянието между градовете A и B e 70км. От A и B в една и съща посока тръгват едновременно два автомобила. Автомобилът от A настига автомобилът от B в пункт C. Ако скоростта на автомобила от A бъде увеличена с 20км/ч, а скоростта на автомобила от B - с 16км/ч, автомобилът от А отново ще настигне автомобила от B отново в C, но 2 часа по-рано. Да се намерят скоростите на автомобилите.

9. Шофьор трябвало да превози 120 машини от един град в друг. След като превозил 48 машини, той получил по-голям камион и започнал да превозва на всеки рейс по 4 машини повече. В резултат на това били направени 3 рейса по-малко от първоначално заплануваните. Да се намери по колко машини е превозвал шофьорът с първия камион.

10. Даден е правоъгълният триъгълник ABC. Точката O е средата на хипотенузата AB и N е средата на отсечката CO. Върху отсечката AN като на диаметър е построена окръжност, която пресича страната AC в точката E.
а) Да се докаже, че NE || BC.
б) Да се намери отношението AE : CE.

11. Диаметърът AD на описаната около остроъгълния триъгълник ABC окръжност пресича страната BC в точката E. Точките M и N са съответни ортогоналните проекции на E върху страните AB и AC. Да се докаже, че:
а) ъгъл BAD = MNE;
б) MN || BC.

12. В правоъгълния триъгълник ABC на катета AC като на диаметър е построена окръжност, която пресича хипотенузата AB в точката D. Допирателната към окръжността в точката D пресича катета BC в точката M.
а) Да се намерят ъгъл CDM и BDM, ако отношението на дъгите AD : DC = 2 : 3.
б) Да се докаже, че CM = MB.

13. Даден е триъгълникът ABC. Продълженията на височините AD и CE пресичат описаната около триъгълника ABC окръжност съответно в точките A₁ и C₁. Да се докаже, че:
а) BA₁ = BC₁;
б) правата p, минаваща през B и перпендикулярна на A₁C₁, минава през центъра на описаната около триъгълника ABC окръжност.

14. Ъглополовящите на ъглите при основата AB на равнобедрения триъгълник ABC пресичат описаната около триъгълника ABC окръжност съответно в точките A₁ и B₁. Пресечната точка на AA₁ и BB₁ е означена с D. Да се докаже, че DA₁CB₁ е успоредник.