ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В МАТЕМАТИЧЕСКИТЕ ГИМНАЗИИ

(1988 – 1991)

1989г., МГ.

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението (2x - 1)² - x(10x + 1) = x(1 - x)(1 + x) - (2 - x)³;
     б) неравенството
     в) уравнението 2 - x = 3b - 2ax, където a и b са параметри.
Да се намерят стойностите на а, за които уравнението има решение естествено число, ако b = 7.

         РЕШЕНИЕ
а) Решението на даденото уравнение намираме чрез следните еквивалентни преобразувания:
(2x - 1)² - x(10x + 1) = x(1 - x)(1 + x) - (2 - x)³
<=> 4x² - 4x + 1 - 10x² - x = x - x³ - 8 + 12x - 6x² + x³
<=> -6x² - 5x + 1 = - 6x² + 13x - 8 <=> -18x = -9
<=> 18x = 9 <=> x = 1/2.

б)От даденото неравенство след разкриване на скобите и привеждане под общ знаменател последователно получаваме:

<=> 2x + 5/4 - 1 + (3 - 2x)/6 < 2x + 5/6
<=> 5/4 - 1 + 1/2 - x/3 < 5/6 <=> 3/4 - 5/6 < x/3
<=> 9 - 10 < 4x <=> -1 < 4x <=> x > -1/4.

в) Прехвърляме членовете, които съдържат х, в лявата страна, а онези, които не съдържат х, в дясната и получаваме За да решим това параметрично уравнение (2a - 1)x = 2(b - 1) разглеждаме два случая:
1) Нека 2a - 1 = 0, т.е. a = 1/2. Тогава в зависимост от стойността на втория параметър b са възможни два подслучая:
а) b = 1, т.е. даденото уравнение има вида 0.х = 0 и всяко число е негово решение;
б) b ≠ 1, т.е. даденото уравнение има вида 0.x = 2(b - 1), където 2(b - 1) ≠ 0 защото b ≠ 0. В този подслучай даденото уравнение няма решение.
2) Нека 2a - 1 ≠ 1, т.е. a ≠ 1/2. Тогава даденото уравнение има единствено решение x = 2(b - 1)/(2a - 1) от което при b=7 и a ≠ 1/2 се получава x = 12/(2a - 1). Това число е естествено число точно тогава, когато 2a - 1 е положителен делител на 12. Но когато а е цяло число, 2а - 1 е нечетно цяло число, а единствените нечетни делители на 12 са 1 и 3. Тогава от 2a - 1 = 1 и 2a - 1 = 3 намираме a = 1 и а = 2. Следователно търсените цели стойности на параметъра a са 1 и 2.

1990 г., МГ

         Задача 1
Да се реши:
     а) Уравнението (2x - 1)³ + 2x(2x - 3)(3 - 2x) - (3x - 1)² = 3x² - 2;
     б) неравенството ;
     в) уравнението |ax - 2 - x| = 4, където а е параметър. Да се намерят стойностите на а, за които корените на уравнението са цели отрицателни числа.

         РЕШЕНИЕ
а) Като използваме формулите
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ и (a - b)² = a²2
и теоремите за еквивалентни преобразования на уравнения, последователно получаваме:
(2x)³ - 3.(2x)².1 + 3.2x.1² - 1³ + 2x(6x - 9 - 4x² + 6x) - (9x²- 6x + 1) = 3x² - 2
<=> 8x³ - 12x² + 6x - 1 + 12x² - 18x - 8x³ + 12x² - 9x² + 6x - 1 = 3x² - 2
<=> -6x = 0 <=> x = 0.
Следователно решението на даденото уравнение е числото 0.

б) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:

<=> (3x - 1)/5 + 1/3 - (2x + 1)/15 - (x - 1)/6 > (1 - 4,5x)/15
<=> 6(3x - 1) - 2(2x + 1) + 10 -5(x - 1) > -2(1 - 4,4x)
<=> 18x - 6 - 4x - 2 + 10 - 5x + 5 > 9x - 2
<=> 0.x > -9
От последното неравенство следва, че всяко число х е решение на даденото неравенство.

в) Записваме даденото уравнение във вида |(a - 1)x - 2| = 4.
Като използваме определението за модула, получаваме:
|(a - 1)x - 2| = 4 <=> или (a - 1)x - 2 = 4 <=> (a - 1)x = 6 или (a - 1)x - 2 = -4 <=> (a - 1)x = -2
Ако a - 1 ≠ 0, уравнението (a - 1)x = 6 има решение x₁ = 6/(a - 1), а уравнението (a - 1)x = -2 - съответно x₂ = -2/(a - 1).
Ако a- 1 = 0, т.е. a = 1, получаваме уравненията 0.x = 6 и 0.x = -2, които нямат решения.
Тъй като x₁ = -3x₂, то или двете решения x₁ и x₂ са различни по знак, или x₁ = x₂ = 0.
Следователно не съществува стойност на параметъра a ≠ 1, при която и двата корена на даденото уравнение да са отрицателни числа, а при a = 1 уравнението няма решение.

1991 г., МГ

         Задача 1
Даден е изразът:
A(x) =
Да се реши:
     а) уравнението A(x) = -2x + 1;
     б) неравенството A(x) < 5 - 2x;
     в) уравнението |A(x) - 1| = 1 - a, където а е параметър.

     РЕШЕНИE
а) Най-напред опростяваме израза А(х);

След решаването на уравнението -2x + 1 = -2x + 1 или 0.х = 0. Това уравнение се удовлетворява на всяко х, следователно всяко число е негово решение.

б) Тъй като A(x) = -2x + 1, то неравенството A(x) < 5 - 2x е равносилно (еквивалентно) на неравенството -2x + 1 < 5 - 2x. Последното неравенство, а следователно и даденото, е удовлетворено за всяко число х.

в) От A(x) = -2x + 1 даденото параметрично уравнение приема вида |-2x - 1 + 1| = 1 - a или |-2x| = 1 - a. Това уравнение има смисъл да се разглежда само при |-2x| = 1 - a , т.е. при a ≤ 1. За тези стойности на параметъра а уравнението |-2x| = 1 - a е еквивалентно на следните две уравнения -2x = 1 - a и -2x = a - 1, откъдето намираме x₁ = (a - 1)/2 и x₂ = (1 - a)/2.

ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В ЕЗИКОВИТЕ ГИМНАЗИИ

(1988 – 1991)

1989 г., ЕГ

         Задача 1
     а) Да се реши уравнението
(2x + 3)² - x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)² + 4x³ - 1.
     б) Да се реши неравенството
     в) Да се намери за кои стойности на параметъра а уравненията |x - 2| + x² - 3x - 2 = 0 и 3a - x = 1 - ax са равносилни (еквивалентни), ако x < 2.

         РЕШЕНИЕ
а) След еквивалентни преобразувания получаваме
(2x + 3)² - x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)² + 4x³ - 1
<=> 4x² + 12x + 9 - x + 4x³ = 4x² - 4x + 1 + 4x³ - 1
<=> 15x = -9 <=> x = -3/5.

б) Решенията на неравенствата намираме чрез еквивалентни преобразувания
x/3 - (x + 3)/4 < x - (1/3).[1 - (3 - 20x)/8]
<=> x/3 - (x + 3)/4 < x - 1/3 + (3 - 20x)/24
<=> 8x - 6x - 18 < 24x - 8 + 3 - 20x
-2x < 13 <=> 2x > -13 <=> x > -13/2.

в) От x < 2 следва |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x. Тогава от първото уравнение при x < 2 получаваме 2 - x + x² - 3x - 2 = 0 <=> x(x - 4) = 0. Решенията на последното уравнение са x₁ = 0 и x₂ = 4. Тъй като x < 2, то само x₁ = 0 е от допустимата област.
Чрез еквивалентни преобразувания получаваме
(a - 1)x = 1 - 3a
При a ≠ 1 намираме x = (1 - 3a)/(a - 1), а при a = 1 второто уравнение няма решение, защото имаме 0.x = -2. Тогава двете дадени уравнения са еквивалентни при x < 2, когато (1 - 3a)/(a - 1) = 0, т.е. при a = 1/3.

1990 г., ЕГ

         Задача 1
     а) Да се опрости изразът
A = √63 + (2 - √7)√7 + √17² - 8² - √(-2)⁶
и да се сравни с числото 2√41.
     б) Да се реши неравенството (x - 1/3)² - (3x - 8)/9 > (x + 2)²
     в) Да се реши уравнението |(2x + 1)² - 4x² - 2| - 3|4x - 1| = -6.

         РЕШЕНИЕ
б) Като използваме еквивалентни преобразувания получаваме
x² - 2x/3 + 1/9 - x/3 + 8/9 > x² + 4x + 4 <=> -x + 1 > 4x + 4 <=> x < -3/5.

в) След еквивалентни преобразувания намираме
|4x² + 4x - 4x² + 1 - 2| - 3|4x - 1| = -6
<=> |4x - 1| - 3|4x - 1| = -6 <=> |4x - 1| = 3
<=> (4x - 1 = 3 и 4x - 1= -3) <=> (x - 1 и x = -1/2).

1991 г., ЕГ

         Задача 1
Да се реши:
     а) уравнението (-x + 3)² - (3 - x)² = -3;
     б) неравенството

         РЕШЕНИЕ
Тъй като
(-x - 3)² = [-(x + 3)]² = (-1)²(x + 3)²,
то
(-x + 3)² - (-3 - x)² = -3 <=> (3 - x)² - (3 + x)2 = -3
<=> (3 - x + x + 3)(3 - x - 3 - x) = -3
<=> 6(-2x) = -3 <=> 4x = 1 <=> x = 1/4.

б) След еквивалентни преобразувания получаваме
<=> <=>
0,25y² - 1 - 0,5y + 0,25 > 0,25y² <=> -0,5y > 0,75
y < 0,75/(-0,5) <=> y < -1,5.

ЗАДАЧИ, ДАДЕНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В МАТЕМАТИЧЕСКИТЕ И ЕЗИКОВИТЕ ГИМНАЗИИ (1992)

1992 г., МГ и ЕГ

         Задача 1
     а) Да се реши уравнението (x + 5)² - 2(x - 5)(x + 5) = x(1 - x).
     б) Да се намери най-малкото цяло число, което е решение на неравенството
    
     в) Да се определи стойността на параметъра s, при която неравенството (x + s)/5 ≥ 2 + x е равносилно на неравенството x ≤ -1.
     г) Да се пресметне стойността на израза
A =

         РЕШЕНИЕ
а) Като използваме формулите
(a + b)² = a² + 2ab + b² , (a - b)(a + b) = a² - b²
и приложим теоремите за еквивалентни преобразувания, последователно получаваме
(x + 5)² - 2(x - 5)(x + 5) = x(1 - x)
<=> x² + 10x + 25 - 2(x² - 25) = x - x²
<=> x² - 2x² + x² + 10x - x = 25 - 50
<=> 9x = -75 <=> x = -25/3.
Следователно решение на уравнението е числото -25/3.

б) След разкриване на скобите и прилагане на теоремите за равносилни неравенства получаваме

<=> (9x + 5)/4 - 1 + (3- 2x)/18 < 7x
<=> 81x + 45 - 36 + 6 - 4x < 252x
<=> 77x - 252x < -15 <=> -175x < -15 <=> x > 3/35.
Следователно най-малкото цяло число, което удовлетворява неравенството е 1.

в) Най-напред решаваме първото неравенство
(x + s)/5 ≥ 2 + x <=> x + s ≥ 10 + 5x,
-4x ≥ 10 - s <=> x ≤ (s - 10)/4
Tова неравенство и неравенството x ≤ -1 ще бъдат еквивалентни, когато множествата на решенията им съвпадат, т.е. когато (s - 10)/4 = -1. Като решим това уравнение относно s, намираме s = 6.
Следователно неравенствата (x + s)/5 ≥ 2 + x и x ≤ -1 са еквивалентни при s = 6.

ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В ТЕХНИКУМИ СЛЕД 7. КЛАС

(1990 – 1992)

1990 г., Т

         Задача 1.
Дадено е уравнението , където x е неизвестното, а p е параметър. Да се определи:
     а) дали даденото уравнение е равносилно на уравнението 19x = 10p + 7;
     б) За кои стойности на параметъра p коренът на даденото уравнение е по-малък от -1;
     в) за кои стойности на параметъра p абсолютната стойност на корена на даденото уравнение е равна на 1.

         РЕШЕНИЕ
a) Като преобразуваме даденото уравнение последователно в еквивалентни уравнения, получаваме
,
10x - 2(3x + 1) + 5(2x - 7) = 10p - 5(x + 7), 10x - 6x - 2 + 10x - 35 = 10p - 5x - 30,
10x - 6x + 10x + 5x = 10p - 30 + 2 + 35,
19x = 10p + 7.
Тъй като второто от дадените уравнения се получава от първото чрез еквивалентни преобразувания, то дадените уравнения са еквивалентни.

б) Като решим даденото уравнение, получаваме x = (10p + 7)/19. Тогава, съгласно условието на задачата , трябва да решим относно p неравенството (10p + 7)/19 < -1.
Прилагайки теоремите за еквивалентни преобразувания на неравенства, последователно получаваме
10p + 7 < -19 <=> p < -26/10.
Следователно при p < -2,6 коренът на даденото уравнение е по-малък от -1.

в) Съгласно условието на задачата следва . Това уравнение относно параметъра p е еквивалентно на уравненията (10p + 7)/19 = 1 и (10p + 7)/19 = -1, откъдето намираме p = 1,2 и p = -2,6.

1991 г., Т

         Задача 1.
Даден е изразът A =
     а) Да се определи А.
     б) Да се намери най-голямата цяло число, което е решение на неравенството A ≥ 5x + 4.
     в) Да се реши уравнението ||A| - 3| = 7.
     г) Да се реши параметричното уравнение A = x|a - 1| + 3x + 5, където а е параметър и A < 1.

         РЕШЕНИЕ
а) Като опростим, получаваме
A = = 10x/3 - x - 3 - x/3
= (10x - x)/3 - x - 3 = 3x - x - 3 = 2x - 3.

б) За да намерим най-голямото цяло число, което удовлетворява неравенството A ≥ 5x + 4, най-напред решаваме неравенството 2x - 3 ≥ 5x + 4 и получаваме x ≤ -7/3. Ясно е тогава, че най-голямата цяло число, което удовлетворява неравенството A ≥ 5x + 4, е х = -3.

в) Неравенството ||2x - 3| - 3| = 7 е равносилно на следните две уравнения: |2x - 3| - 3 = 7 и |2x - 3| - 3 = -7.
От първото уравнение получаваме x₁ = 6,5 и x₂ = -3,5 а второто няма решение, защото не съществува число х такова, че |2x - 3| = -4.

г) Тъй като при имаме |a - 1| = -(a - 1) = -a + 1, то даденото уравнение 2x - 3 = x|a - 1| + 3x + 5 приема вида 2x - 3 = x(1 - a) + 3x + 5. Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме
2x - (1 - a)x - 3x = 5 + 3 <=> (2 - 4 + a)x = 8 <=> (a - 2)x = 8.
Но щом a < 1, то a ≠ 2, т.е. a - 2 ≠ 0. Тогава окончателно намираме x = 8/(a - 2).

1992 г., Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) неравенството
     б) уравнението |(x + 1)² - (x - 1)²| = 3/2;
     в) уравнението (a - x)(a + x) - 2ax = a² - x² 2a - 4 където а е параметър;
     г) да се докаже, че ако m > 2, то m³ - 2m² > 4m - 8.

         РЕШЕНИЕ
а) Като извършим еквивалентни преобразувания, получаваме
<=> x/7 - 2/7 - 3x/2 + 1 + x < 1
<=> x/7 - 3x/2 + x < 2/7 <=> (1/7 - 3/2 + 1)x < 2/7 - 5x/14 < 2/7 <=> x > -4/5.

б) Преобразуваме израза (А) под знака на модула:
A = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x.
Така получаваме уравнението |4x| = 3/2. От определението за модула следва,
|4x| = 4x при x ≥ 0
|4x| = -4x при x < 0
От 4x = 3/2 и -4x = 3/2 получаваме x₁ = 3/8 ≥ 0 и x₂ = -3/8 < 0. Следователно даденото модулно уравнение има два корена 3/8 и -3/8.

в) Извършваме еквивалентно преобразувание, като разкриваме скобите и прехвърляме членовете, съдържащи х, а останалите – в дясната:
(a - x)(a + x) - 2ax = a² - x² + 2a - 4,
<=> a² - x² - 2ax = a² - x² + 2a - 4,
-x² + x² - 2ax = -a² + a² + 2a - 4.
Като извършим приведение на подобните едночлени, получаваме
-2ax = 2a - 4 или ax = 2 - a.
1) Ако a ≠ 0 уравнението има единствено решение x = (2 - a)/a.
2) Ако а = 0, получаваме уравнението 0.х = 2, което няма решение.Следователно даденото уравнение има единствено решение x = (2 - a)/a при a ≠ и няма решение при а = 0.

г) Ще докажем, че ако m > 2, то е изпълнено неравенството m³ - 2m² > 4m - 8.
Наистина, извършвайки еквивалентни преобразувания, получаваме
m³ - 2m² > 4m - 8 <=> m³ - 2m² - 4m + 8 > 0
<=> m²(m - 2) - 4(m - 2) > 0 <=> (m - 2)(m² - 4) > 0
<=> (m - 2)²(m + 2) > 0 <=> m + 2 > 0.
От m > 2 следва, че m + 2 > 4 > 0, с което твърдението е доказано.

ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В МАТЕМАТИЧЕСКИ ГИМНАЗИИ, ЕЗИКОВИ ГИМНАЗИИ И ТЕХНИКУМИ СЛЕД 7. КЛАС (1993 – 2003)

1993г., МГ, ЕГ и Т,

         Задача 1.
Да се реши:
     а) неравенството и да се намери най-голямото му цяло решение;
б) уравнението |3|2x - 1| - 2| = 1.

         РЕШЕНИЕ
а) Като използваме теоремите за еквивалентно преобразуване на неравенства, последователно получаваме
,
99y + 11 - 11 +33y < 48 + 24y - 108 -12y,
99y + 33y + 12y - 24y < 48 - 108,
120y < -60 <=> y < -1/2.
Решението на даденото неравенство са всички числа, които са по-малки от -1/2 (Фиг.1). Най-голямото цяло решение на неравенството е числото -1.

б) От определението за модула следва
|3|2x - 1| - 2| = 1 <=>
или
3||2x - 1|| - 2 = 1
или
3|2x - 1| - 2 = -1.
За да решим първото уравнение 3|2x - 1| - 2 = 1 <=> |2x - 1| = 1, отново използваме определението за модул и получаваме две нови уравнения:
|2x - 1| = 1 е еквивалетно на
2x - 1 = 1 <=> 2x = 2 <=> x = 1
или
2x - 1 = -1 <=> 2x = 0 <=> x = 0.
От второто уравнение 3|2x - 1| -2 = 1 &hWArr; |2x - 1| = 1/3 следва
|2x - 1| = 1/3 е еквивалентно на
2x - 1 = 1/3 ^hArr; 6x = 4 <=> x = 2/3
или
2x - 1 = -1/3 <=> 6x = 2 <=> x = 1/3.
Следователно решения на даденото уравнение са числата 0, 1/3, 2/3 и 1.

1994 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
     а) Да се реши неравенството (2x + 1)² - 4(x + 1)² < -2 и да се провери дали числото n = (-16)³.27/24³ е неговото решение.
     б) Да се реши уравнението 3a - x = 5 - ax, където а е параметър.

         РЕШЕНИЕ
а) Като приложим теоремите за еквивалентни преобразувания на неравенства, последователно получаваме
(2x + 1)² - 4(x + 1)² < - 2,
(2x)² + 2.2x + 1 -4(X² + 2x + 1) < -2,
4x² + 4x + 1 - 4x² - 8x - 4 < -2,
4x - 8x < 4 - 1 - 2, -4x < 1, x > -1/4.

Следователно решение на неравенството са всички числа, по-големи от -1/4 (Фиг.2).
За да проверим дали n = (-16)².27/24³ е решение на даденото неравенство, пресмятаме числото n:
         n = (-16)².27/24³ = (-16)³.3³/24³ = (-16.3/24)³ = (-2)³ = -8.
Тъй като числото -8 е по-малко от -1/4, то не е решение на даденото неравенство.

б) След еквивалентни преобразувания получаваме
3a - x = 5 - ax <=> (a - 1)x = 5 - 3a
При a ≠ 1 решението на уравнението е x = (5 - 3a)/(a - 1).
При a = 1 уравнението няма решение.

1995 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) неравенството

и да се намери най-малкото цяло число, което е негово решение;
     б) уравнението a(2x - 1) = 1 - a, където a е параметър, и да се намерят стойностите на a, за които то е равносилно (еквивалентно) на уравнението x + 1 = 4.

         РЕШЕНИЕ
а) Като разкрием скобите и извършим равносилни (еквивалентни) преобразувания, получаваме

<=> x²/4 - x + 1 + (5x - 3)/6 < x²/4 + 1/4
-x + (5x - 3)/6 < 1/4 <=> -12x + 10x - 6 < 3
<=> -2x < 9 <=> x > -9/2.
Така намерихме, че всяко x (-4,5; +∞) е решение на даденото неравенство.
Тогава най-малкото цяло чесло в интервала x (-4,5; +∞) е (-4). Следователно -4 е търсеното най-малко цяло решение на неравенството.

б) Най-напред чрез равносилни преобразувания опростяваме даденото параметрично уравнение
a(2x - 1) = 1 - a <=> 2ax - a = 1 - a <=> 2ax = 1.
Тогава:
1) ако 2a ≠ 0, т.е. a ≠ 0 получаваме единствено решение x = 1/2a;
2) ако 2a = 0, т.е. а = 0, имаме 0 = 1. Това уравнение няма решение. Следователно при a = 0 няма решение и даденото уравнение.
Тъй като уравнението x + 1 = 4 има корен х = 3, то за да бъдат равносилни уравненията 2ax = 1 и x + 1 = 4, трябва 2ax = 1 също да има решение х = 3. Следователно при a ≠ 0 уравненията са равносилни, когато 1/2a = 3, т.е. при a = 1/6. Ако a = 0, уравненията не са равносилни, защото едното има решения, а другото – няма.

1996 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
а) уравнението (2x - 1)² - x(1 - 2x)(1 + 2x) - 9 = 4(1 + x)x² - 3;
     б) неравенството

         РЕШЕНИЕ
а) От даденото уравнение чрез равносилни преобразувания последователно получаваме:
(2x - 1)² - x(1- 2x)(1 + 2x) - 9 = 4(1 + x)x² - 3
<=> 4x² - 4x + 1 - x(1 - 4x²) - 9 = 4x³ + 4x² - 3
<=> 4x² - 4x + 1 - x + 4x³ - 9 = 4x³ + 4x² - 3
<=> -5x - 8 = -3 <=> -5x = 5 <=> x = -1.
Следователно даденото уравнение има решение х = -1.

б) Като разкрием скобите в даденото неравенство и извършим равносилни преобразувания, получаваме:

Умножаваме двете страни на това неравенство с най-малкия общ знаменател (12) и получаваме равносилни неравенства
4x - 3x + 9 < 12x - 1 - 3x <=> -8x < -10 <=> x > 5/4.
Следователно всяко x (5/4; ∞) е решение на даденото неравенство.

1997 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението (2x - 1/2)² - 2x = 5,25 - (1 - 2x)(2x + 1);
     б) неравенството и да се провери решение ли е на неравенството числото a = (2²)³6⁴/(-3)³4⁵.

         РЕШЕНИЕ
а) Като извършим еквивалентни преобразувания, получаваме
(2x - 1/2)² - 2x = 5,25 - (1 - 2x)(2x + 1)
<=> 4x² - 2x + 1/4 - 2x = 5,25 - (1 - 4x²)
<=> 4x² - 4x = 5 - 1 + 4x² <=> -4x = 4 <=> x = -1.
б) От даденото неравенство след разкриване на скобите и привеждане към общ знаменател получаваме

<=> x + (1 + 2x)/12 ≤ (7x - 1)/4
<=> x ≥ 4/7, т.е. x (4/7; ∞)
a = (2²)³6⁴/(-3)³.4⁵ = (2²)³.2⁴.3⁴/(-3)³.(2²)⁵ = -2⁶.2⁴.3⁴/3³.2¹⁰ = -3
Тъй като -3 ∉ [4/7; ∞), то -3 не е решение на неравенството.

1998 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението
     б) неравенството и да се провери дали числото n = е негово решение.

         РЕШЕНИЕ
Като извършим еквивалентни преобразувания, получаваме:
а) ,
1/9 - 4x/3 + 4x² - 4x² + 1/9 = 1/2 - 11x/9,
2 - 24x + 2 = 9 - 22x, -2x = 5, x = -5/2;

1999 г., Мг, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението (2x - 1)² - (x - 1)³ + x²(x - 7) = 3(1 - 4x/3);
     б) неравенството и да се провери кои от корените на уравнението |6x + 1| = 4 са решения на неравенството.

         РЕШЕНИЕ
а) Като разкрием скобите и извършим еквивалентни преобразувания, получаваме
4x² - 4x + 1 -(x³ - 3x² + 3x - 1) + x³ - 7x² = 3 - 4x
<=> 4x² - 4x + 1 - x³ + 3x² - 3x + 1 + x³ - 7x² = 3 - 4x
<=> -3x = 1 <=> x = -1/3.

б) Чрез еквивалентни преобразувания от даденото неравенство намираме
x/3 - (5 - x)15 - x/5 > (8x - 1)/15 <=> 5x - 5 + x - 3x > 8x - 1
<=> -5x > 4 <=> x < -4/5, т.е. x (-∞; -4/5).
От уравнението |6x + 1| = 4 получаваме 6x + 1 = 4 и 6x + 1 = -4. Решението на първото уравнение е x = 1/2, а на второто x = -5/6. Тъй като 1/2 ∉ (-∞; -4/5), то 1/2 не е решение на даденото неравенство. Но -5/6 (-∞; -4/5), затова x = -5/6 е решение на даденото неравенство.

2000 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
     а) Да се реши неравенството
             2x(3x - 1) - (1 - x)(1 + x) ≥ (x + 1/3)² + 0,25.
     б) Влак изминава 370 km за 5 часа и 30 минути. Първите 4 часа влакът се движил с постоянна скорост, а след това намалил скоростта си с 10 km/h. Да се намери скоростта, с която се е движил влакът през първите 4 часа.

         РЕШЕНИЕ
а) Като разкрием скобите и направим еквивалентни преобразувания, получаваме:
6x² - 2x + x² - 1 ≥ 7x² 7x + 7/4 + 1/4
<=> 7x² - 2x - 1 ≥ 7x² + 7x + 2
<=> -9x ≥ 3 <=> x ≤ -1/3.

б) Означаваме с х km/h скоростта на влака през първите 4 часа. Тогава след намалението скоростта му е станала х - 10 km/h. Тъй като до намалението на скоростта влакът се е движил 4 часа, а след намалението й часа, то от условието на задачата получаваме уравнението 4x + [3(x - 10)]/2 = 370.
След еквивалентни преобразувания получаваме
8x + 3x - 30 = 740 <=> 11x = 770 <=> x = 70.
Следователно търсената скорост е 70 km/h.

2001 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) уравнението (2x - 1)² - (x + 1/2)² = 3x(x - 1) + 2,75;
     б) неравенството ;
     в) да се намери стойността на параметъра а, за който корените на уравнението |3a - 2x| = 2 са решения на неравенството (от б).

         РЕШЕНИЕ
а) Тъй като (2x - 1)² = 4x² - 4x + 1 и (x + 1/2)² = x² + x + 1/4, то след еквивалентни преобразувания получаваме
4x² - 4x + 1 - x² - x - 1/4 = 3x² - 3x + 11/4
<=> -4x + 3x - x = 11/4 - 3/4 <=> -2x = 8/4 <=> -2x = 2 <=> x = -1.
Следователно решението на даденото уравнение е x = -1.

б) След еквивалентни преобразувания получаваме

<=>
<=> (1 - 2x²)/2 - 2/3 - (3x - 4)/6 < (-6x² - 2)6
<=> 3 - 6x² - 4 - 3x + 4 < -6x² - 2
<=> -3x < -5 <=> 3x > 5 <=> x > 5/3
Решенията на дадените неравенства са x (5/3; ∞).

в) Даденото модулно параметрично уравнение |3a - 2x| = 2 е равносилно на двете уравнения 3a - 2x = 2 и 3a - 2x = -2.
Решенията на тези уравнения са съответно x = (3a - 2)/2 и x = (2 + 3a)/2.
В условието на задачата се изисква да се намерят стойностите на а, за които тези решения са измежду решенията на неравенството, т.е. те са по-големи от 5/3.
Затова решаваме системата
и получаваме a > 16/9 и a > 4/9.

Следователно търсените стойности на параметъра a са a (16/9; ∞).

2002 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
     а) Да се решат уравнението (3x - 1)² - 5(x + 1)(x - 1) = (1 + 2x)² - 7x и неравенството
     б) Един работник може на извърши определена работа за 8 h, а друг-за 5 h 20 min. Отначало първият работил сам 3 h, а след това се включил и вторият. Да се намери в колко часа е била свършена 75% от работата, ако първият работник е започнал да работи в 9 h 20 minи двамата са направили почивка от 13 h до 13 h 30 min.

         РЕШЕНИЕ
а) Тъй като
(3x - 1)² = 9x² - 6x + 1, (x + 1)(x - 1) = x² - 1 и (1 + 2x)² = 1 + 4x + 4x²,
то получаваме следните еквивалентни уравнения
(3x - 1)² - 5(x + 1)(x - 1) = (1 + 2x)² - 7x
<=> 9x² - 6x + 1 - 5x² + 5 = 1 + 4x + 4x² - 7x
<=> 9x² - 4x² - 5x² - 6x - 4x + 7x = -5 + 1 - 1 <=> -3x = -5 <=> x = 5/3
Следователно решението на даденото уравнение е x = 5/3. И при решаването на даденото неравенство прилагаме метода на еквивалентните преобразувания:
<=> (4x + 3)/4 - 2/3 - (2 - x)/6 < x - 1/2
<=> 3(4x + 3) - 8 - 2(2 - x) < 12x - 6 <=> 12x + 9 - 8 - 4 + 2x < 12x - 6
<=> 2x < -3 <=> x < -3/2
Решенията на даденото неравенство са x < -3/2, т.е. x (-∞;-3/2).

б) Тъй като първият работник може да свърши работата за 8 часа, неговата производителност е 1/8. За да свърши цялата работа, другият работник трябва да работи 5 часа и 20 минути, затова неговата производителност е 1:(16/3) = 3/16. Ако означим с х часа времето, през което са работили заедно двамата работници, тогава за извършване на 75% от цялата работа първият работник е работил 3 + х часа, а вторият – х часа. Свършената работа от двамата работници е 75% от цялата работа, затова неизвестното х определяме от уравнението (3 + x)/8 + 3x/16 = 3/4, x > 0.
След съответни еквивалентни преобразувания получаваме
2(3 + x) + 3x = 12 <=> 6 + 2x + 3x = 12 <=> 5x = 6 <=> x = 6/5.
Следователно двамата работници са работили заедно 6/5h или 1h 12min.
Като вземем предвид, че първият работник е започнал работа в 9h 20min, работил е 3 часа, преди да се включи вторият, и че 30min работниците са почивали, получаваме, че 75% от работата е била свършена в 14h 2min (9h 20min + 3h 30min + 1h 12min =14h 2min).

2003 г., МГ, ЕГ и Т

         Задача 1.
Да се реши:
     а) неравенството (x - 2)² + x(3 - x) + 4x > 1 и да се намерят целите числа от интервала (-6; 2], които са негови решения;
     б) Уравнението , където а е параметър, и да се намерят стойностите на а, за които корените на уравнението са решения и на неравенството |x| > 1/2.

         РЕШЕНИЕ
а) Даденото неравенство е равносилно на неравенствата:
(x - 2)² + x(x - 3) + 4x > 1
<=> x² - 4x + 4 + 3x - x² + 4x > 1
<=> 3x > -3 <=> x > -1
Целите числа, които са от интервала (-6; 2] и са решения на неравенството, са 0, 1, 2.

б) Даденото уравнение е равносилно на уравненията:

<=>
<=> (1 - 6x)/3 = (4a² + 1)/6 - 13x/6 - ax/3
<=> 2(1 - 6x) = 4a² + 1 - 13x - 2ax
<=> 2 - 12x = 4a² + 1 - 13x - 2ax
<=> 2ax + x = (4a² - 1) <=> (2a + 1)x = 4a² - 1.
При a = -1/2 даденото уравнение е еквивалентно на уравнението 0x = 0 и всяко х е негов корен. Решенията на неравенството |x| > 1/2 ca (-∞; 1/2) ∪ (1/2; ∞). При a = -1/2 не всяко решение на даденото уравнение е решение на неравенството. Следователно a = -1/2 не е решение на задачата.
При a ≠ -1/2 даденото уравнение има решение x = . Това решение на уравнението трябва да е решение на неравенството |2a - 1| > 1/2. Неговите решения при условие, че a ≠ -1/2, се получават като обединение на решенията на неравенствата 2a - 1 > 1/2 или 2a - 1 < -1/2, от които се получава a > 3/4 или a < 1/4.

Крайният отговор е a (-∞; -1/2) ∪ (-1/2; 1/4) ∪ (3/4; ∞).

2003 г., МГ, ЕГ и Т(резервна тема)

         Задача 1.
Да се реши:
     а) неравенството (x - 1)² + x(1 - x) + 3x < 5 и да се намерят целите числа от интервала [-3; 5), които корени са неговите решения;
     б)уравнението , където a е параметър, и да се намерят стойностите на a, за които корените на уравнението са решения на неравенството |x| < 7.

         РЕШЕНИЕ
а)След еквивалентни преобразувания от даденото неравенство се получават неравенствата:
(x - 1)² + x(1 - x) + 3x < 5
<=> x² - 2x + 1 + x - x² + 3x < 5
<=> 2x < 4 <=> x < 2.
Целите числа, които са от интервала [-3; 5) и са решения на даденото неравенство са -3, -2, -1, 0 и 1.

б) След освобождаване на уравнението от знаменател и извършване на еквивалентни преобразувания се получават уравненията:

<=> 8x³ - 12x² - 8x³ + 12² - 6x + 1 = 4a² - 8 - 3x - 2ax
<=> 2ax - 3x = 4a² - 9 <=> (2a - 3)x = 4a² - 9.
При a = 2/3 даденото уравнение е еквивалентно на уравнението 0x = 0 и всяко х е негово решение. Решенията на неравенството |x| < 7 са -7 < x < 7. При a = 2/3 не всяко решение на даденото уравнение е решение на неравенството. Следователно a = 2/3 не е решение на задачата.
При a ≠ 2/3 даденото уравнение има решение x = . Това решение на уравнението трябва да е решение и на неравенството |2a + 3| < 7. Неговите решения при условия, че a ≠ 3/2, са (-5; 3/2) ∪ (3/2; 2).