Математика на древността

Множеството-еталон на броене е довело до възникването на понятието число. Отначало тези множества-еталони са били естесвен произход: "две очи", "пет пръста", "една луна" и т.н., а по-късно изкъствени - специално пригодени камъчета за броене, пръчици, резки и др.

На основата за наименованията на естествените множества-еталони у редица народи от древността възникват и някои наименования на числителни: единица - луна, две близнаци, шест - миризми, седем - планини, осем - богове и др.

Този етап на броене е бил сменен от избирането на най-удобното множество за броене, съдържао еднородни предмети, а именно множеството от пръстите: 5 - ръка, 10 - две ръце, 20 - 2 ръце и крака. В редица езици този начин на броене е довел до образуване на числителни при основа числото пет: 7 = 5 + 2, 9 = 5 + 4 и т.н. Двадесетичните наименования у французи и грузинци са остатъци от броене с двадесетици (пръстите на ръцете и краката). В някои народи са запазени следи и от двоична бройна система. В езика на едно племе съществуват следните наименования: 1 - урапун, 2 - окоза, 3 - окоза-урапун, 4 - окоза-окоза, 5 - окоза-окоза-урапун.

Сведенията за резултатите от броенето отначало са се запазвали с помощта на резки върху дърво или кости - "рабош", а също така чрез възли по върви - "кипу". Това се е налагало преди всичко за помнене на определени дългове - единият рабош оставал у длъжника, а другият у кредитора. Освен дългове, записването с помощта на резки се е използвало при отбелязване на ловните трофеи от древните ловци.

При обозначаването на числата с помощта на цифри първоначално са се използвали (в този ред) следните три принципа: адитивен, субстрактивен, мултипликативен. В какво се състоят те?

Адитивният (събиране) се състои във въвеждане на някои основни знаци, например 1, 10, 100, а останалите числа от вида: n, 10n, 100n са образувани чрез съответния знак, повторен n пъти:
1 - |
10 - ∩ | ∩ ∩ ∩ ρ ρ
100 - ρ

Субтрактивният (изваждане) се състои в означаване на разликата n-m посредством съчетание на цифрите n и m.
IV -> 5-1

Мултипликативният (умножение) - в означаване на произведението n.m и съчетаване на цифрите n и m. Например, три десет, четири десет и др.

В геометрията отначало също са се появили геометричните еталони, а по-късно имената на тези еталони са станали наименивания на абстрактни геометрични фигури. Голяма част от общоприетите в геометричта наименования са от гръцки произход и означават предмети с една или друга форма:
ЦЕНТЪР - остен ПРИЗМА - изрязана
РОМБ - цумпал СФЕРА - топка
ТРАПЕЦ - масичка и др.
КОНУС - шишарка

Първите математически текстове, от които черпим сведения, са древните египетки папируси. Най-големият математически текст, запазил се до наши дни, е т.нар. папирус на Райнд (с размери 5,25м ма 0,33м) и съдържа 84 задачи. Малко по-малък се съхранява в Москва и се нарича Московски папирус. И двата папируса се отнасят приблизително към един и същ период от време - времето на Средното царство, характерно с висока култура. Носители на научните знания тогава са били т.нар. писари. В един текст, възхваляващ привилигированото положение на писаря, се казва следното: "Писарят ръководи всички и не се облага с данъци. За работата му в писането няма данъци. Запомни това!"

Споменатите папируси са били съставени за учебни цели. Основно внимание в текстовете е отделено не на методите за решаване на задачите, а на самите пресмятания. Класификацията на задачите в папируса на Райнд е по теми: задачи за обеми на хамбари и съдове, задачи за определяне на площи и т.н. Всяка задча се решава отделно и без обяснения, но при решаването й изчислителят използва някои общи закономерности. За третиране на учащи се са били съставяни и задачи с развлекателен характер:
къща 7
котка 49
мишка 343
ечемик 2401
мярка 16807
всичко 19607
Става дума за геометрична прогресия с а₁ = 7 и q = 7 ...

Смятането по идея е било просто. Свеждало се е до умението да се събират числа, да се удвояват и да се доплъват дроби до едицата. Египетският писар не е разполагал с правила за умножение и деление на числата, подобни на нашите. Използвано е единствено удвояването. Ето как изглежда (с наши означения) решението на задача № 32 от папируса на Райнд:
12.12
1 12
2 24
/4 48
/8 96
12 144
В първата колконка се търсят събираемите на първия множител, а сборът на съответните им от втората колонка дава търсеното произведение. В този пример е в следващите от този вид, означените с чертичка "/" числа означават събираемите от първия множител.
17.23 15.21
/1 23 /1 21
2 46 /2 42
4 92 /4 84
8 184 /8 186
/16 386
17 391
Използва се намиране на произведение, когато единият множител е сбор от няколко събираеми: (1 + 2 + 4 + 8).21 = 15.21. Тези неща в древните текстове не са обяснени и сега може само да се предполага за техниката на пресмятане.

Делението са извършвали като операция обратна на умножението. В задача № 69 от същия папирус за делението (1120:80) има упътване - "Умножавай с 80, докато получиш 1120."
1 80
2 160 /
4 320 /
8 640 /
14 т.е. 1120:80 = 14

С други думи непосредствено се "опитва" колко пъти далителят се съдържа в делимото. Отново случаят: 1120:80 = (160 + 320 + 640):80.

Най-труден е бил проблемът при деление с остатък. Египтяните не са работели с рационални дроби от вида p/q, а са използвали аликвотните дроби от вида 1/n, които за улеснение сега бележим с n^-. Te са познавали и използвали и дробта 2/3, която записваме 3⁼.

Появата на аликвотните дроби е твърде характерина за началото на развитието на поняието число. Това е първата поява на дроби в процеса на раздробяване на цялото на части. В изчислителната техника на древния Египет се е появила задачата за разлагане на всяка дроб на сбор от аликвотните дроби, която няма единствено решение и е била решавана емпирично на няколко етапа. Свеждало се е до съставяне на таблици с разлагания, най-простите от които писарите е трябвало да знаят наизуст. Например:
6^- + 6^- = 3^- 6^- + 6^- + 6^- = 2^- 3^- + 3^- = 3⁼
3^- + 6^- = 2^- 2^- + 3^- + 6^- = 1

От тези разлагания с прости комбинации те са извеждали такива съотношения: 2^- + 6^- = 3⁼; 2^- + 3^- = 3⁼ + 6^-; 3⁼ + 2^- = 1 + 6^-. Вижда се, че при решаване на различни задачи понятието число се е развивало. Дробта се е схващала като именувано число - "толкова такива". При това поразява изкуството, с което древноегипетският изчислител е владеел цялата техника.

В папирусите има задачи, в които на практика се решават уравнения от вида x + ax + bx + ... = p. Това са т.нар. задачи "axa". Такава е задача № 26 от папируса на Райнд: "Количеството заедно с четвъртата си част дава 15" - това ще рече $x+\frac{1}{4x}=15$ . За решаването й вероятно е използван методът, известен по-късно с името "метод на невярното предположение".

Изчислителят приема, че количеството е 4. Получава се: 4 + (¼).4 = 4 + 1 = 5. Ho 5 е три пъти по-малко от 15. Тогава 4.3 = 12, т.е. х = 12.

Изобщо, ако "невярното предположение" е x₁ и то дава p₁ вместо p, то:
x:x₁ = p:p₁
$x = x_1.\frac{p}{p_1}$
В папируса, разбира се, такива общи разсъждения няма, но идеята за пропорционалност е била разпространена в древността. Подобна на горната задача е и задачата: " три четвърти от дължината е ширина, а лицето е 12". Оставяме на читателя да реши тази задача, като използва метода на древните.

В групата задачи "axa", които в историята на математиката са първите отвлечени задачи, решени по единен метод, виждаме зачатъци на алгебрата като наука за решаване на уравения.

Геометричните знания на египъвните се отнасят до измерване на лица и обеми. Някои от намерените резултати са твърде забележителните, но все още геометрията не се станала клон на математиката. Използвали са точни правила за пресмятане лица на правоъгълници, триъгълници и трапеци, а за лице на произволен четириъгълник са използвали приближението: $S = \frac{a+c}{2}.\frac{b+d}{2}$

При пресмятане лицето на кръга са приемали, че то е равно на лицето на квадрат със страна $\frac{8d}{9}$ ( d - диаметъра на кръга), т.е. използвано е досто добро приложение на π = 3,14 с грешка по-малка от 1%. Няма сведение как се е стигнало до това правило, но хипотезата на Райк дава доста правдоподобно обяснение. Той счита, че лицето на кръга са приравнявали на лицето на описания квадрат, като от него се изваждат лицата на квадратчетата със страни $\frac{d}{6}$ и $\frac{d}{9}$ . Тогава най-добре се вижда на показания чертеж (Фиг. 1).

Най-учудващото в геометрията на древен Египет е правилото за намиране на обема на пресечена пирамида: $V=(a^2+ab+b^2).\frac{h}{3}$ , където а, b са страни на квадратните основи. Съществуват много хипотези, обясняващи възникването на тази формула, но едно е сигурно - до нея египтяните са достигнали след редица аритметични и геометрични разсъждения.

Математиката на древен Египет оказва голямо влияния на по-нататъшното развитие на науката марематика. Редица гръцки математици разказват, че много начални сведения са получили от пътуванията си в Египет.