МенюПитагорейско учение за числата
Диалози за математиката между Сократ и Хипократ
Един от ръководните принципи на питагорейците гласи:,,Всичко е число и всичко е от число.”До този извод те стигат, както бе посочено вече, по чисто емпиричен път, изучавайки съзвучието на чук в зависимост от големината му и съзвучието на опънатата струна в зависимост от дебелината и дължината и.
Числата за питагорейците са начало на всичко съществуващо ?и на вещите, и на космоса, и на човека, и на душата...;те са далеч по-универсални от водата, въздуха, огъня на милетските мислители.,,. . . в числата, посочва Аристотел, те долавяли много сходни черти с онова, което съществува и което става ?повече, отколкото у огъня, земятя, водата . . ., у тях, изглежда, числото се приемало за начало и като материал за вещите, и като израз за тяхното състояние и свойства.
Накратко питагорейското учение за числата се свежда до следното. Основни обекти на познанието са математическите обекти и преди всичко числата от естесвения ред. Числото представлява единство от противоположностите ?четно и нечетно. Четното и нечетното са елементи на числото.
Макар близо два века в центъра на питагорейските занимания да стои числото, те обаче не гледат на него като резултат от абстрахиращата дейност на човека и поради това не могат да разкрият истинската му същност и оттам действителната му роля и значение. По много причини те не са в състояние да си изработят абстрактно понятие за числото и това именно обстоятелство извънредно много ги затруднява да дадат научен отговор на въпроса за взаимоотношението между числото и вещта, между математическото и физическото. За всички питагорейци числата?това са самите вещи; вещите се состоят от числа; вещите и числата са тъждествени.
До този доста сранен възглед питагорейците стигат вследствие на това, че схващали числото като сетивно възприемаема геометрична фигура, т.е.числата за тях са пространствени, геометрични величини.
Схващането на числата като сетивно възприемаеми геометрични фигури е несъмнено наивен възглед, но той е обясним за онова време, когато философското и частнонаучното знание са се намирали на все още твърде ниско равнище. Нима възгледите на Талес, че първооснова на света е водата, или на Анаксимен?че първоосновна на света е въздухът, или на Хераклит?че първооснова на света е огънят, и пр. Не са наивни?
Известно е, че ранните гърци са мислели твърде конкретно. Ето защо за питагорейците числото е означавало не някакво абстрактно понятие, каквото се изработва много по-късно, а отделен сетивно възприемаем предмет или съответно една редица (множество) от такива предмети, например един човек, две ръце, пет пръста и пр. У тях още липсва абстракция(понятие) за ,,едно”, ,,две”, ,,пет” и т.н.
Понеже питагорейците били далеч от абстрактното понятие за число, те го означавали нагледно, с точка. Но точката за тях е пространствена величина и следователно има напълно физически смисъл. По този повод Аристотел изтъква, че питагорейските числа ,,. . . това не са числа, състоящи се от (отвлечени) единици, но на единицата те приписват (простраствена) величина”.
Не само единицата (от която се състоят числата), но и другите числа питагорейците разглеждат като сетивно възприемаеми геометрични фигури и оттук наименованията ,,квадратни”, ,,правоъгълни”, ,,триъгълни” числа, като, разбира се, тези наименования не са метафори за тях. Както правилно посочва Л. Брюнсвиг, ,,. . . преди да кажат, че вещите са числа, питагорейците започнали да схващат числата като вещи. Квадратните, правоъгълните и триъгълните числа са били пред очите им и пред мисловния им взор. ”
Според питагорейците квадратични числа са четворката и деветката, които са произведения сами на себе си, т.е. 2х2 и 3х3, и се представят по следния нагледен начин: четворката : :, девятката :::. Правоъгълно число е шестицата, която е произведение от 3 и 2 и се представя : : :. Триъгълни числа са тройката и десетката. Тройката се представя ... ,а десетката не като произведение от 5х2 и ———— Не съответно :::::, а по следния начин откъдето се вижда, че тя е сума от първите четири числа от естествения ред, т.е. 10=1+2+3+4.
Представянето на числата като квадратни, правоъгълни и триъгълни говори, от една страна, за геометрическия подход на питагорейците към аритметиката и, от друга, че числата служат за означаване на пространства. И едното, другото е твърде характерно за тях на питагорейците да установят връзките между геометрията и аритметиката най-добре проличава, когато те третират единицата като точка и на тази именно основа развиват изследванията по геометричното представяне на числата. Обаче геометричното представяне на числата, или което е все същото, позволява на питагорейците да стигнат до абстрахирането на тематиеското от физическото, до образуването на абстрактно понятие за числото.
Както се спомена вече, питагорейците първи се натъкват и на ирационалните числа, което внася смут в техните редове, тъй като това откритие подронило доста сериозно устоите на ръководния им принцип: всичко е число, всичко е от число, но те разбират число от естествения ред. Откритието на несъизмеримите отсечки, което фактически е откритие на ирационалните числа, показва, че отношението между дължината на страната на квадратаи дължината на неговия диагонал не може да се изрази с помощта на числата от естесвения ред, поставени в центъра на тяхната математика и философия. Следователно те не могат да бъдат единствени обекти на математиката, а още по-малко начало на вещите, на света, тъй като наред с тях съществуват и друг вид числа. Така самото им откритие нанесело удар по собствената им математическа и философска концепция.
До откриването на несъизмеримите отсечки главно по влиянието на питагорейската школа се е считало, че отношението между еднородни величини или между еднородни геометрични отсечки може да се изрази само с цели числа или с дробни числа. И за задачитена тогавашната практика и теория целите числа и отношенията на целите числа са били напълно достатъчни. Ето защо да се осъзнае съществуването на ирационалните числа непостижими, безсмислени, абсурдни и дълго време пазили в тайна откритието на несъизмеримите отсечки, понеже то явно противоречело на концепциятя им за числата, основа на философската им система и на филиософските им разбирания за математиката.
