Математически турнир „Иван Салабашев” 2004

Tема за 10, 11 и 12 клас

Този материал го четете благодарение на Николай Каракехайов от Хасково. Училище "Христо Смирненски", VII a клас.

Задача 1. Броят на различните решения на системата
||x| + |y| = 2
|x² + y² = 3
2      4      6      8     

Задача 2. Нека ABCD е квадрат, M е среда на правата CD и P е вътрешна точка за диагонала, за която <ВРМ = 90. Отношението РС/РА е равно на:
2      3      5/2      13/4     

Задача 3. В правоъгълен триъгълник АВС(С = 90°) височината СН и ъглополовящата ВМ се пресичат в точка К и CN(N лежи на AB) e ъглополовящата на АСН. Ако ВК = 5 и CN = 12, то дължината на отсечката МК е равна на:
5      8      9      12     

Задача 4. Нека х и у са реални числа, за които х² + у² = 14х + 6у + 6. Най-голямата стойност на израза 3х + 4у е равна на:
72      73      74      75     

Задача 5. За всяко естествено число n означаваме с d(n) броя на всичките му делители(включително 1 и n) Ако d(2n) = 28 и d(3n) = 30, то d(6n) е равно на:
35      34      33      32     

Задача 6. Броят на различните двойки естествени числа (m, n), за които (m+2)^n-2 = (m-2)ⁿ⁺² е равен на;
0      1      2      3     

Задача 7. Вписаната в триъгълник АВС окръжност се допира до страните АС и БС в точки Р и Т. Ако медицентърът на триъг. АВС лежи върху отсечката РТ, да се намери отношението (АС + ВС)/АВ.

Задача 8. Дадена е редицата
1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2.....
Да се намерят всички естестени числа n, за които сумата на първите n члена на редицата е равна на 2004.