Русия

Московска олимпиада

1. Колко различни реални корена има уравнението
        x³ + 3a²x + b = 0
Същият върпос за уравнението
        x³ - 3a²x + b = 0
Равнината на параметрите (a, b) да се раздели на части M_j по такъв начин, че при (a, b) М_j броят на корените на уравнението да е равен на j.

2. Функцията ƒ е интегруема в интервала [0,1] и $\int_{0}^{1}f(x)dx > 0$. Да се докаже, че съществува интервал [a,b], такъв, че [1,0] [a,b], във всички точки на който е изпълнено неравенството ƒ(x) > 0.

3. Функцията ƒ е непрекъсната върху цялата реална права и за всяко реално число х е в сила равенството ƒ(ƒ(x)) = x. Да се докаже, че съществува такава точка x₀, че ƒ(x₀) = x₀.

4. Да се докаже, че ако елементите на матрицата A = (a_ij), i,j = 1, 2, ...., n удовлетворяват неравенствата
      |a_ij| > Σ|a_jk|, j = 1, 2,..., n където 1 ≤ k ≤ n и k ≠ j.
то А е неизродена.

5. Функцията ƒ е два пъти диференцируема и ограничена върху цялта реална права. Да се докаже, че съществува точкат x₀, в която ƒ'(x₀) = 0.

6. В тримерното пространство са дадени редиците от точки ${A_k}_{1}^{\infty}, {B_k}_{1}^{\infty}, {C_k}_{1}^{\infty}, {D_k}_{1}^{\infty}, {E_k}_{1}^{\infty}$, като точките A_k+1, B_k+1, C_k+1, D_k+1, E_k+1 са съответно средите на отсечките A_kB_k, B_kC_k, C_kD_k, D_kE_k, E_kA_k за всяко k = 1, 2, .... Да се докаже, че петте редици имат една и съща граница.

7. Да се докаже, че за всяко цяло число n е в сила неравенството
          $\frac{e}{(1 + \frac{1}{n})^n} < 1 + \frac{1}{2n}$

8. Нека P_n е полином от степен n и
    P_n(a) ≥ 0, P'_n(a) ≥ 0, ...., P_n^(n-1)(A) ≥ 0, P_n⁽ⁿ⁾(a) > 0.
Да се докаже, че реалните корени на уравнението P_n(x) = 0 не надминават а.

9. Краищата на отсечка с дължина 1 се плъзгат по раменете на прав ъгъл. Какво лице отсича отсечката?

10. Да се докаже, че ако една редица от полиноми, чиито степени не надминават n, е равномерно сходяща в даден интервал (a,b), то границата й е полином от степен. ненадминаваща n.

11. Да се докаже, че равнината не може да бъде покрита с непресичащи се кръгове (с радиуси, различни от 0 и от ∞).

12. В окръжност с радиус 1 е вписан правилен n-ъгълник. Да се намери произведенето на диагоналите и страните му, които излизат от един от неговите върхове.

13. Дадена е безкрайна редица {n_k}, където k е от 1 до ∞, от различни естествени числа. Да се докаже, че границата на редицата от суми
      $x_k = \frac{1}{n_1!} + \frac{1}{n_2!} + .... + \frac{1}{n_k!}$
е ирационално число.

14. Кое от числата
      $\Pi_{n=1}^{25}(1 - \frac{n}{365})$ и ½
е по-голямо?
Отговор: ½.

15. Да се пресметне
        $\frac{1 + \frac{\pi^4}{5!} + \frac{\pi^8}{9!} + \frac{\pi^{12}}{13!} + ...}{\frac{1}{3!} + \frac{\pi^4}{7!} + \frac{\pi^8}{11!} + \frac{\pi^{12}}{15!} + ...}$

16. През центъра на правилен петоъгълник да се прекара права така, че сумата от квадратите на разстоянията от върховете на петоъгълника до правата да е минимална.

17. През центъра на правилен тетраедър да се прекара права така, че сумата от квадратите на разстоянията от върховете на тетраедъра до правата да е менимална.

18. Едно взаимно еднознчачно изображение на равнината върху самата нея изобразява всяка окръжност в окръжност. Да се докаже, че то изобразява всяка права в права.

19. Дадено е уравнението
          x⁵ + ax⁴ + bx³ + c = 0
където a, b и c са реални числа и c ≠ 0. Да се докаже, че поне два от корените му не са реални числа.

20. Дадени са две неотрицателни числа α и β, чиято сума е равна на 1. Да се намерят всички диференцируеми функции ƒ, дефинирани в безкрайния интервал (-∞; + ∞) и удовлетворяващи в него диференциалното уравнение
          $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(\alpha y + \beta x)$