МенюЗадачи от руска олимпиада по математика
1. В тримерното пространство са фиксирани координатни оси и V е изпъкнал многостен, чиито върхове са с цели координати. Да означим с nV многостена, чиито точки имат за радиус-вектори умножените с n радиус-вектори на точките на V. С N(X) означаваме броя на точките с цели координати, лежащи вътре или на повърхността на многостена X, а с μ(X) - обема на Х. Да се докаже, че
N(3V) - 3N(2V) + 3N(V) - 1 = 6μ(V).
2. Съществува ли в четиримерно пространство изпъкнал многостен с 6 върха и 15 ръба?
3. Връх на дадена крива се нарича такава точка от кривата, в която кривината има екстремум. Да се докаже, че всяка безкрайно диференцируема затворена изпъкнала крива има поне четири върха.
4. Дадени са два тригонометрични полинома p(t) и q(t). Да се докаже, че съществува такъв ненулев полином R(x, y), че за всяко t
R(p(t), q(t)) = 0.
5. Какъв най-голям брой нормали може да се прекарат към дадена елипса през точка вън от нея? Да се опише и начертае множеството от точките, през които минават максимален брой нормали към дадена елипса.
6. Функцията ƒ: R2 -> R притежава непрекъснати частни производни до втори ред включително. Да се докаже, че следните две условия са еквивалентни:
1) За произволен правоъгълник АBCD е в сила равенството
ƒ(A) + ƒ(C) = ƒ(B) + ƒ (D).
2) Функцията ƒ може да се представи във вида
ƒ(x,y) = a(x2 + y2) + bx + cy + d,
където a, b, c, d 
R.
7. Редицата от числа an, където n = 1, 2,...., ∞ е монотонно намаляваща и $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n} = \infty$. Да се докаже, че ако
$b_n = min\left(a_n, \frac{1}{ln(1 + n)}\right), n = 1, 2,....,$ то
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}b_n=\infty$
8. Нека F C∞([0, +∞]). Да се докаже, че
$\int_{0}^{\infty}(|F(x)| + |F''(x)|)dx \ge \sqrt{2}F(0)$
и че константата √2 дава най-добрата възможна оценка.
9. Нека А и В са реални симетрични матрици от един и същ ред. Да се докаже, че
Tr(ABAB) ≤ Tr(A2B2),
kydeto Tr(M) е следата на матрицата М. Кога е възможно равенство?
10. Нека ƒ е произволен полином с комплексни коефициенти. Да се докаже, че съществува такава константа С, че за всеки полином Р с цели коефициенти броят на различните цели корени на уравнението ƒ(Р(х)) = 0 не надминава deg P + C, където deg P е степента наполинома Р.
11. Да се докаже, че уравнението y' = y2 + x с начално условие y(0) = 0 няма решение в интервала (0,3). (По-точно не съществува функция у, която е дефинирана и непрекъсната в интервала [0,3), удовлетворява в интервала (0,3) уравнението y' = y2 + x и приема стойност 0 в точката 0.)
12. Да се докаже, че при a > b > 1 е в сила неравенството aba > bab.
13. Да се докаже, че всяко цяло число може да се представи като сума на кубовете на пет цели числа.
14. Възможно ли е равнината да бъде покрита с "вътрешности" на краен брой параболи?
15. Известно е, че реалната функция ƒ, дефинирана и непрекъсната върху цялата реална права, приема стойности с различни знаци. Да се докаже, че за някои различни точки A1, A2 и A3 образуващи аритметична прогресия, е изпълнено равенството
ƒ(A1) + ƒ(A2) + ƒ(A3) = 0.
16. Квадратните матрици А и В са от един и същи ред. Да се докаже, че ако АВ - ВА = А, то А е изродена.
17. Функцията ƒ е дефинирана за всяко реално х и е четна, непрекъсната, периодична с период 2, като освен това е растяща в интервала [0,1]. Да се докаже, че дефинираната в интервала [0,2] функция
$g(\alpha)=\int_{0}^{2}f(x).f(x + \alpha)dx$
18. В триъгълника АВС е вписана елипса, която се допира до страните му ВС, СА и АВ съответно в точките A1, B1 и C1. Да се докаже, че
AB1.BC1.CA1 = AC1.CB1.BA1.
19. Да се докаже, че ако р(х) е полином от степен n, който няма кратни корени, а q(x) е полином от степен, по-малка от n, който не е тъждествено равен на нула, то полиномът
$\sum_{k=0}^{n}(p(x)q(x))^{(k)}$
не се дели на p(x).
20. Да разгледаме единичния четиримерен куб, т.е. множеството от точки (x1, x2, x3, x4) R4, удовлетворяващи условията 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3, 4. Сечението на куба с хиперравнината x1 + x2 + x3 + x4 = 2 е тримерен многостен. Да се намери броят на неговите върхове и да му се направи чертеж.
