Унгария - задачи от студентски олимпиади

1. Да се пресметне границата
$lim\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{1+cos^2nx}dx$
при n -> ∞.

2. Да се намери сумата на реда
      $x+\frac{x^3}{1.3} +\frac{x^5}{1.3.5}+....+\frac{x^{2n+1}}{1.3.5....(2n+1)}$

3. Нека
           
където p > 0, q > 0, r > 0 и p + q + r = 1. Да се докаже, че
         

4. Дадени са окръжност и 2n различни точки върху нея. Точките са групирани по произволен начин по двойки и всяка двойка е съединена с хорда. Да се намери вероятността никои две от тези хорди да не се пресичат.

5. Да се докаже. че ако a и b са реални числа и m е естествено число, то редът
            $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}sin(a.sin\frac{2n\pi}{m})e^{bcos\frac{2n\pi }{m}}$
е сходящ.

6. Да се намери
            min{max(|1 + z|, |1 + zⁿ|)},
където z е комплексно число.

7. Да се намерят всички непрекъснати решения на функционалното уравнение
            f(xyz) = f(x) + f(y) + f(z)
в следните два случая:
а) x, y и z са произволни реални числа, различни от нула;
б) a < x, y, z < b и 1 < a³ < b.

8. Нека P₁P₂P₃P₄P₅P₆ е изпъкнал шестоъгълник с лице T и нека t е лицето на триъгълника Q₁Q₂Q₃, където Q₁, Q₂ и Q₃ са средите съответно на диагоналите P₁P₄, P₂P₅ и P₃P₆. Да се докаже, че t < T/4.

9. Да се докаже, че функцията
      $f(\alpha)=\int_{1}^{\frac{1}{\alpha}}\frac{dx}{\sqrt{(x^2-1)(1-\alpha^2x^2)}}$
е монотонно намаляваща при 0 < α < 1.

10. Да се докаже, че периметърът на всяко равнинно сечение на даден тетраедър е по-малък от периметъра на някоя от стените на тетраедъра.

11. Да се намерят всички непрекъснати релани функции f, g и h, удовлетворяващи функционалното уравнение
            f(x + y) + g(x + y) = h(x) + h(y)
за всеки две числа х > 0 и у > 0.

12. Равнината δ и правата АВ минават през центъра О на даден елипсоид, като AB ⊥ δ. Нека АО и ВО са равни на периметъра на елипсата, която δ отсича от дадения елипсоид. Каква фигура описват точките А и В при всевъзможните изменения на положението на δ?

13. Върху една права са дадени n различни точки. В редицата, образувана от разстоянията между всеки две от тях, няма три разстояния с една и съща стойност. Да се докаже, че броят на членовете на тази редица, чиято стойност се среща само по един път, е най-малко от цялата част на числото n/2.