МенюСАЩ - задачи от олимпиади за студенти
1. Окръжност с радиус а се търкаля без плъзгане по вътрешната страна на окръжност с радиус 3а. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от траекторията на една точка от подвижната окръжност.
Отговор: 2πa2.
2. Да се докаже, че ако сумата на реда
$\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$
то сумата на реда $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}^{2}x^n=\frac{1 + abx}{(1 - abx)(1 - a^2x)(1 - b^2x)}$
3. Да се докаже, че ако
$u = 1 + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + ....,$
$v = \frac{x}{1!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + ....,$
$w = \frac{x^2}{2!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^8}{8!} + ....,$
то u3 + v3 + w3 - 3uvw = 1.
4. Параболата y2 = -4px се търкаля без плъзгане по параболата y2 = 4px. Да се намери уравнението на геометричното място на върха на търкалящата се парабола.
Отговор: (x2 + y2)x + 2py2 = 0.
5. Да се докаже, че сферата
$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c},{ }abc \ne 0,$
e геометрично място на пресечните точки на три взаимно перпендикулярни равнини, които се допират до повърхнината
ax2 + by2 + cz2 = 1.
6. Да се намерят всички тройки от рационални числа (a, b, c), които са корени на уравнението x3 + ax2 + bx + c = 0.
Отговор: (0, 0, 0), (1, -2, 0) и (1, -1, -1).
7. Квадрат със страна 2а се движи в първи квадрант на равнинната координатна система OXY, като при това два негови съседни върха се намират винаги върху осите ОХ и ОY. Да се докаже, че всяка точка от вътрешността или контура на квадрата описва конично сечение. За кои точки от квадрата то е изродено?
8. Функцията g има непрекъсната първа производна за всяко х. Да се докаже, че ако g(0) = 0 и |g'(x)| ≤ |g(x)| за всяко х, то g е тъждествено равна на 0.
9. Да се намери минимиланият обем, заграден между координатните равнини и равнина, която е допирателна на елипсоида
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.$
10. Окръжност k с радиус 1 загражда кръг K, а дъга k1, която лежи в K и съединява две точки A и B от k, разполовява лицето на K. Да се докаже, че дължината на k1 е по-голяма от 2.
11. Реалната непрекъсната функция ƒ удовлетворява функционалното уравнение
ƒ(√x2 + y2) = ƒ(x).ƒ(y).
за всеки две реални числа х и у. Да се докаже, че ƒ(x) = [ƒ(1)]x2.
12. Точките U, V и C лежат съответно на три дадени взаимно перпендикулярни прави OX, OY и OZ, като C е фиксирана, а U и V са променливи. Да се намери геометричното място на точката P, за която правите PU, PV и PC са взаимно перпендикулярни.
13. Каква е максималната стойност на |z3 - z + 2|, където z е комплексно число с |z| = 1?
14. В тетраедъра ABCD е дадена точка P, за която сумата PA + PB + PC + PD е минимална. Да се докаже, че ъглите APB и CPD са равни и се разполовяват от една и съща права. Какви други двойки ъгли са равни?
15. Да се докаже равенството
$\Pi_{k=1}^{\infty}\frac{1 + 2cos{\frac{2x}{3^k}}}{3} = \frac{sinx}{x}$
където х е реално или комплексно число.
16. В Георгианския календар:
а) всяка година, която не се дели на 4, е обикновена;
б) всяка година, която се дели на 4, но не се дели на 100, е високосна;
в) всяка година, която се дели на 100, но не се дели на 400, е обикновена;
г) всяка година, която се дели на 400, е високосна;
д) обикновените години имат по 365 дни, а високосните - 366.
Да се докаже, че вероятността Коледа да е в сряда не не равна на &frac17;.
17. Да се докаже, че ако една равнина е тангенциална на даден тор и минава през центъра му, тя пресича тора по две окръжности.
18. Да се докаже, че един вписан в дадена елипса триъгълник има максимално лице тогава и само тогава, когато медицентърът му съвпада с центъра на елипсата.
19. Да се докаже, че редицата
$\sqrt{7}, \sqrt{7 - \sqrt{7}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7}}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7 - \sqrt{7}}}}.....$
е сходяща и да се намери нейната граница.
20. Точките P и Q лежат във вътрешността на кръга, определен от окръжност c с център C, като CP = CQ. Да се определи положението на точка Z върху c, за която сумата PZ + QZ е минимална.
