МенюКиевска олипиада
1. Нека Sm, m = 1, 2,..., е сумата от m-тите степени на корените на уравнението
ax2 + bx + c = 0.
Да се докаже, че
aSm + bSm-1 + cSm-2 = 0.
Да се изразят S2 и S3 чрез S0 и S1.
2. Даден е изпъкнал четириъгълник. Да се построи квадрат, чиито страни минават през върховете на четириъгълника.
3. Да се реши системата:
|√xy + √(1 - x)(1 - y) = a
|√x(1- y) + √y(1 - x) = b.
4. В даден триъгълник АВС да се впише правоъгълник с възможно най-малък диагонал по такъв начин, че едната му страна да лежи на АВ.
5. Равнинаната е покрита с квадратна мрежа (страната на квадратите е равна на 1). Може ли да се построи равностранен триъгълник, чиито върхове са разположени във възлите на мрежата.
Отговор: Не.
6. В даден кръг са вписани трапец, чиято основа е диаметър на кръга, и равностранен триъгълник, чиито страни са успоредни на страните на трапеца. Да се докаже, че триъгълникът и трапецът са равнолицеви.
7. Да се докаже, че
$\frac{1}{2sin10^\circ} - 2sin70^\circ = 1$
8. Организационният комитет за провеждане на олимпиадата се състои от 9 души. Задачите за олимпиадата се пазят в сейф. Колко ключалки трябва да има сейфът, колко ключа трябва да се направят и как трябва да се раздадат ключовете на членовете на комитета, че отварянето на сейфа да е възможно тогава и само тогава, когато се съберат не по-малко от 2/3 от членовете на комитета?
Отговор: 126 ключалки и 504 ключа, които се раздават на членовете, така че всеки да има ключ от точно 4 рзлични ключалки.
9. Да се докаже, че всяка затворена линия, която пресича всичките страни на правоъгълник, не е по-къса от удвоения диагонал на правоъгълника.
10. Да се докаже, че ако в редицата от цифри и звездички 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 на мястото на звездичките се напишат в произволен ред цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всяко точно един път), то полученото число ще се дели без остатък на 396.
11. Да се реши уравнението:
$\frac{1}{cosx cos2x} + \frac{1}{cos2x cos3x} + .... + \frac{1}{cos100x cos101x} = 0.$
12. Възможно ли е на сферична планета с диаметър 1 да се разположат 8 наблюдателни станции по такъв начин, че всеки обект, който се намира на височина 1 над планетата, да се наблюдава от поне две станции?
Отговор: Да.
13. В една страна 100 шосета съединяват 200 града, като от всеки град излиза поне 1 шосе. Какъв максимален брой шосета могат да бъдат затворени за движение, без това да наруши връзката между градовете?
Отговор: 801.
14. На лист от тетрадка било написано едно уравнение от единадесета степен. Върху него капнала капка мастило и останали да се четат само първите три члена:
x11 + 6x10 + 5x9 + ... = 0.
Да се намерят корените на това уравнение, ако е известно, че те образуват аритметична прогресия.
15. На всеки ръб на даден изпъкнал многостен е поставена стрелка. Да се докаже, че ако от всеки връх на многостена излиза и във всеки връх влиза по една стрелка, той има две стени, които могат да бъдат обиколени по контура им с движение само по посока на стрелките.
16. Центърът на дадена окръжност има координати, които са ирационални числа. Да се докаже, че в нея не може да се впише триъгълник, чиито три върха имат рационални координати.
17. Сумата на естествените числа a1, a2,...., a10 е равна на 1001. Да се намери максималната възможна стойност на техния най-голям общ делител.
Отговор: 91.
18. Да се докаже равенството
$\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ... }}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}$
19. Нека р е просто число, p ≥ 3. Известно е, че за някое естествено число n числото pn съдържа 20 цифри. Да се докаже, че измежду тях има поне три еднакви.
20. Дадена равнина да се покрие с триъгълници така, че измежду тях да няма подобни.
