Решаване на уравнения със степен по-висока от втора

Решаването на уравнения от по-висока степен се основава на редица твърдения, свързани с понятието полином от степен n.

Определение: Под стойност на полином ще разбираме число, което се получава, когато променливата от полинома заместим с конкретна стойност.
f(x) = a₀x^k + a₁x^k-1 + ... + a_k-1x + a_k       a₀ ≠ 0
При х = р получаваме:
f(p) = a₀p^k + a₁p^k-1 + ... + a_k-1p + a_k
Ясно е, че за да се намери стойността на полинома, ще трябва да се извършват редица пресмятания. Тази дейност до голяма степен се облекчава от схемата на Хорнер. Същността на това правило ще покажем за полином от четвърта степен:
f(x) = a₀x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄
Нека х = р
f(p) = a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄ =
      = p(a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃) + a₄ =
      = p[p(a₀p² + a₁p + a₂) + a₃] + a₄ =
      = p{p[p(a₀p + a₁) + a₂] + a₃} + a₄ =
f(p) = p[p(pc₁ + a₂) + a₃] + a₄ = p(pc₂ + a₃) + a₄ = pc₃ + a₄ = c₄.
Където:
      c₁ = pa₀ + a₁
      c₂ = pa₁ + a₂
      c₃ = pa₂ + a₃
      c₄ = pa₃ + a₄.

Пример 1: Да се стойността на полинома:
f(x) = x⁴ + x³ - 14x² + 26x - 20 при х = 4, х = 3 и х = 2.

Определение: Ако f(p) = 0, то "р" се нарича нула на полинома.

Вярно е следното основно свойство: Всеки полином от степен по-голяма или равна на единица има поне една нула.
Може да се докаже твърдението: Необходимо и достатъчно условие е полиномът f(p) да се дели на (х - р) без остатък и р да е нула на полинома.
Това твърдениее в основата на теорема, която ни дава точния брой на нулите на всеки полином.

Теорема: Всеки полином от степен n ≥ 1 има точно n нули.
Доказателство:
f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n       a₀ ≠ 0
От основното свойство следва, че полиномът притежава поне една нула, примерно x₁. Необходимото и достатъчно условие гарантира верността на равенството:
            f(x) = (x - x₁)f₁(x)
За f₁(x), който е полином от степен n-1 , повтаряме разсъжденията f₁(x) = (x - x₂).f₂(x). о този път на разсъждение ще се получат следните равенства:
          f(x) = (x - x₁)f₁(x)
          f₁(x) = (x - x₂)f₂(x)
          .......................................................
          f_n-1(x) = (x - x_n)f_n(x)
          f_n(x) = const = M
Като умножим почленно и извършим съкращенията ще се получи
f(x) = M(x - x₁)(x - x₂)....(x - x_n), което е друго представяне на f(x), т.е. М = a₀ и така:
      f(x) = a₀(x - x₁(x - x₂)....(x - x_n)

Определение: Равенството f(x) = 0, където f(x) е полином от степен n се нарича алгебрично уравнение от степен n. Нулите на f(x) са корени на уравнението.

За намиране на корените на уравненията с цели коефициенти и a₀ = 1 е полезна следната теорема:
Рационалните нули на полином с цели коефициенти и a₀ = 1 са цели числа, делители на свободния член a_n.
Oт тази теорема може да се направи изводът, ако никой от делителите на свободния член не е корен на уравнението, то уравнението няма цели корени. Теоремата дава възможност за отделяне на целите корени на алогебричното уравнение и понижаване на степента му.

Пример 2:
Да се намерят целите корени на уравнението:
      x⁵ + 3x⁴ - 9x³ + 2x² - 13x + 10 = 0.
Делителите на свободния член са ±1, ± 2, ±5 и ±10.
Като използваме правилото на Хорнер, ще проверим кой от тях е нула.

Пример 3:
Да се намерят рационалните корени на уравнението
            4x⁵ - 12x⁴ + 3x³ + 11x² - x - 2 = 0
Стемим се да преобразуваме уравнението така, че коефициентът пред най-високата степен да бъде единица. За тази цел ще умножим уравнението с 2³ и се получава
      (2⁵x⁵) - 6(2⁴x⁴) + 3(2³x³) + 22(2²x²) - 4(2x) - 16 = 0.
Като полжим 2х = у, получаваме уравнение, за което можем да приложим теоремата за целите корени, а именно
            y⁵ - 6y⁴ + 3y³ + 22y² - 4y - 16 = 0.
единствените цели корени на уравнението са y₁ = 1, y² = -1, y₃ = 4. рационалните корени на даденото уравнение ще намерим като заместим в субституцията 2x = y.
          2x = 1 <=> x₁ = ½
          2x = -1 <=> x₂ = -½
          2x = 4 <=> x₃ = 2.

Когато свободният член е доста голямо число и притежава много делители, може да се използва едно практично правило, което ни освобождава от "нежелани делители". Правилото е
Делителят "р" не е корен на уравнението ако

            $\frac{a_{n-1}p+a_n}{p^2}$
не е цяло число.

Да проверим за уравнението от пример 3 с делител числото 8 (при уравнението спрямо у)
      p = 8     $\frac{(-4)8+(-16)}{8^2}$ това число не е цяло, следователно 8 не е корен.

Ще разгледаме някои уравнения от по-висока степен, които се решават с метода на субституциите. Важни са следните определения:
- Чрез метода на субституциите даденото уравнениет с множество на вярност М преобразуваме в уравнение с множество на вярност М₁, така че всеки елемент на М съпоставяме точно един елемент на М₁.
- уравнението х = f(у), посредством което се образува М в М₁, се нарича уравнение на субституцията.
Първият вид уравнения, които могат да се решават с този метод, са тричленните от вида: ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0 (а ≠ 0). Чрез субституцията xⁿ = y се преобразуват в уравнения от вида
      ay² + by + c = 0.

Пример 4:
Да се реши уравнението x⁶ - 7x³ - 8 = 0
Полагаме x³ = y и получаваме
            y² - 7y - 8 = 0
Полученото уравнение е квадратно с корени y₁ = 8 и y₂ = -1. Заместваме в уравнението на субституцията и се получава
            x³ = 8       x₁ = 2.
Другите два корена не са реални числа.
            x³ = -1 единственият реален корен е x₂ = -1.

Другият вид уравнения, които ще разгледаме, са реципрочните от вида
axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + .... + cx² + bx + a = 0       a ≠ 0.
За степентa n имаме две възможности - да бъде четно или нечетно число. Ще разгледаме най-напред случая, когато n = 2m.
ax^2k + bx^2k-1 + .... + bx + a = 0.
В това уравнение със сигурност x ≠ 0 и следователно можем да разделим на x^2k.
a(x^k + x^1/k) + b(x^k-1 + x^1/(k-1)) + ... + b(x + 1/x) + a = 0.
Чрез субституцията (x + 1/x) = y определяме и
            (x² + 1/x²) = y² - 2 и т.н.
По този начин даденото уравнение се свежда до уравнение спрямо у, но от степен k.

Пример 5:
Да се реши уравнението: x⁴ - 3x³ + 2x² - 3x + 1 = 0.
Delim na x² и получаваме (x² + 1/x²) - 3(x + 1/x) + 2 = 0.
Използваме субституцията: (х + 1/х) = у оттук (x + 1/x)² = x² + 2x(1/x) + 1/x² = (x² + 1/x²) + 2, т.е.
(x² + 1/x²) + 2 = y²       или (x² + 1/x²) = y² - 2.
Като заместим получаваме: y² - 2 - 3y + 2 = 0
      y² - 3y = 0
      y(y - 3) = 0           y₁ = 0     y₂ = 3
      x + 1/x = 0           или x + 1/x = 3
      x² + 1 = 0         или x² - 3x + 1 = 0
      x R     $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
Ако степента на реципрочното уравнение е нечетно число, то непременно има за корен числото -1. Следователно
аx^2k+1 + bx^2k + .... + bx + a = (x + 1)(ax^2k + ..... + a) = 0
Корените на даденото уравнение ще бъдат -1 и корените на реципрочното уравнение, чиято степен е четно число.

Пример 6:
да се реши уравнението x⁵ - 3x⁴ + 2x³ + 2x² - 3x + 1 = 0
Използваме схемата на Хорнер при х = -1

Задачи

1. Да се намерят целите корени на уравненията:
a) x⁶ - 6x⁵ + 14x⁴ - 18x³ + 17x² - 12x + 4 = 0;
b) x⁴ - 9x² + 4x + 12 = 0.

2. Да се покаже, че x₁ = 2 е двукратен корен на уравнението
      x⁴ + x³ - 10x² - 4x + 24 = 0.

Да се определят коефициентите на тричлена, така че той да има двукратна нула числото 1: ax⁴ + bx³ + 1.

4. Да се определят параметрите в уравнението
      x⁵ - 4x⁴ - 3x³ + 22x² + ax + c = 0
ако то притежава двоен корен x₁ = x₂ = 2.

5. Да се реши уравнението
      3x⁶ - 11x⁵ - x⁴ + x² + 11x - 3 = 0.