Задачи по аналитична геометрия в равнината - задачи с решения

Решение:
Разстоянието между две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ се намира по формулата:
Разстояние = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

Решение:
[tex]AB=\sqrt{(5-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/tex]

Решение:
[tex]y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\rightarrow y=\frac{7-(-3)}{0-5}=\frac{10}{-5}=-2[/tex]

Решение:
Наклонът на права се намира по формулата $m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, където $P_{1}(1,3)=(x_{1},y_{1})\qquad P_{2}(-2,1)=(x_{2},y_{2})$
Така $m=\frac{1-3}{-2-1}=\frac{2}{3}$

Уравнението на правата е $y-y_{1}=m(x-x_{1})$,
където $x_{1}=1$ и $y_{1}=3$ са координатите на точка $P_1$
$\Longrightarrow y-3=\frac{2}{3}(x-1)$
$y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+3=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$

Отговор: $y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$ е уравнението на правата.

Решение:
$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-2}{2+2}=-\frac{1}{2}$

$b=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2(2)-(-2)0}{2+2}=1$

тогава уравнението е $y=-\frac{1}{2}x+1$

Решение:
Наклона на правата, която е успоредна на оста x е нула. Така, че:
[tex]y+1=0(x-4)\rightarrow y+1=0\rightarrow y=-1[/tex]

Решение:
Правата минава през точки (0,-4), (2,0).
Следователно:
[tex]\frac{x}{2}+\frac{y}{-4}=1\rightarrow 2x-y=4[/tex]

Решение:
Разстоянието между точка $A(x_1, y_1)$ и
права L: Ax + By + C = 0 се намира по формулата:
$d=\frac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}$

[tex]d=\frac{|3\times 2-4\times (-3)+2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|6+12+2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|20|}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4[/tex]

Решение:
[tex]S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\rightarrow S=\frac{1}{2}|0\times(0-3)+5\times(3-(-3))+0\times((-3)-0)|= \frac{30}{2}=15[/tex]

Решение:
Лицето се изчислява по формулата $\pm \frac{1}{2}\det \left\vert \begin{array}{ccc} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{array} \right\vert $

Лице $=\pm \frac{1}{2}\det \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right\vert =\frac{3}{2}$

Решение:
[tex]x=-4 \rightarrow x+4=0 \rightarrow A=1, B=0, C=4[/tex]
[tex]7=\frac{|1\times(2a-3)+0\times 5+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|2a-3+4|}{\sqrt{1}} =\frac{|2a+1|}{1}=|2a+1|\rightarrow[/tex]
[tex]|2a+1|=7 \rightarrow \begin{cases} 2a+1=7 \\ 2a+1=-7 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 2a=6 \\ 2a=-8 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} a=3 \\ a=-4 \end{cases}[/tex]

Решение:
[tex]D_1:x-y=1[/tex]
[tex]D_2=2x+y=5[/tex]
[tex]\rightarrow 3x=6 \rightarrow x=2, y=1[/tex]
[tex](2m-5)x-my=3\rightarrow (2m-5)2-m=3 \rightarrow 4m-10-m=3 \rightarrow 3m=13 \rightarrow m=\frac{13}{3}[/tex]