Меню
❌
Начало
Форум
Тестове/Изпити
Алгебра
Геометрия
Задачи
Упражнения
Висша математика
Състезания
Програми
Игри
ГЛАВНО МЕНЮ
1 клас
Събиране и изваждане до 10
Сравнение на числа до 10
Събиране и изваждане до 20
Събиране и изваждане до 10/20
2 клас
Събиране и изваждане до 100
Умножение по 2, 3, 4, 5
Таблицата за уможение
Деление
Обиколка
3 клас
Събиране и изваждане до 1000
Събиране, умножение, деление
Обиколка
4 клас
Събиране, умножение, деление
Събиране и изваждане
Лице на правоъгълник
5 клас
Делимост на 2, 3, 4, 5, 9
Уравнения
Проценти
Дроби
Еквивалентни дроби
Най-малко общо кратно
Събиране и изваждане на дроби
Умножение и деление на дроби
Десйтвия с дроби
Смесени дроби
Десетични дроби
Изрази
6 клас
Отрицателни числа
Опростяване на многочлени
Степенуване
Действия с многочлени
Координатна система
Питагорова теорема
7 клас
Ъгли
Tриъгълник
Разлагане на множители
Текстови задачи
Неравенства
Модулни уравнения
Линейни уравнения с параметър
8 клас
Корени
Квадратни уравнения
Формули на Виет
Модулни неравенства
9 клас
Квадратни неравенства
Системи уравнения
Модулни неравенства
Рационални неравенства
Степенуване
Прогресии
Аритметична прогресия
Геометрична прогресия
Прогресии
Числови редици
Логаритми
Логаритмични изрази
Логаритмични уравнения
Логаритмични уравнения
Логаритмични неравенства
Логаритмични неравенства
Реципрочни уравнения
Тригонометрия
Тригонометрия
Тъждества
Тригонометрия
Тригонометрични уравнения
Екстремални задачи
Класификация на числата
Геометрия
Теорема на Талес
Синусова теорема
Косинусова теорема
Вероятности
Показателни уравнения
Ирационални уравнения
Показателни неравенства
Ирационални неравенства
Функции
Производни
НГС и НМС на функция
Монотонност на функции
Граници
Граници на функции
Полиноми
Наклон на права
Матрици
Комплексни числа
Обратни тригонометрични функции
Аналитична геометрия
Аналитична геометрия
Уравнение на окръжност
Конични сечения
Парабола
Елипса
Полярни координати
Интеграли
Интеграли
Интегриране по части
Начало
Задачи
Неравенства
Неравенства - задачи с решения
Автор:
Prof. Hernando Guzman Jaimes (University of Zulia - Maracaibo, Venezuela)
Задача 1
Кой от интервалите е решение на
$-5 < x \leq 3$
$x\in \lbrack -5;3]$
$x\in (-5;3)$
$x\in (-5;3]$
$x\in \lbrack -5;3)$
Решение:
Решение $x\in (-5,3]$
Това значи, че -5 не е решение, но 3 е решение на неравенствата.
Графично представяне:
Задача 2
Кое от следните множества от числа принадлежи на интервала
$\left[ 7;9\right]$
$\left\{ 0,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},10\right\} $
$\left\{ 7,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},9\right\} $
$\left\{ 0,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},9\right\} $
$\left\{ 7,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},10\right\} $
Решение:
Отговор: $\left\{ 7,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},9\right\}$
Тъй като
$7\in \left[ 7;9\right]$
$\frac{25}{3}=8,33\in \left[ 7;9\right]$
$8\in \left[ 7;9\right]$
$\frac{41}{5}=8,2\in \left[ 7;9\right]$
$9\in \left[ 7;9\right] $
Задача 3
Решете неравенството
$2x+3>-2$
$x\in \left( \frac{-5}{2};+\infty \right)$
$x\in \left( -2;+\infty \right)$
$x\in \left( 3;+\infty \right)$
$x\in \left( \frac{3}{2};+\infty \right)$
Решение:
Отговор: $x\in \left( \frac{-5}{2},+\infty \right)$
$2x+3>-2$
Трябва да изолираме отляво $x$, използвайки свойствата на неравенствата.
$2x+3-3>-2-3$
$2x>-5$
$\left( \frac{1}{2}\right)2x>-5\left( \frac{1}{2}\right)$
Така
$x>\frac{-5}{2}$,
Отговор: $x\in \left( \frac{-5}{2},+\infty \right)$
Задача 4
Какво е решението на неравенството?
$3x-9<6$
$x\in \left( -\infty; 6\right)$
$x\in \left( -\infty; -9\right)$
$x\in \left( -\infty; 5\right)$
$x\in \left( -\infty; \frac{6}{9}\right)$
Решение:
Отговор: $x\in \left( -\infty ,5\right)$
$3x-9<6$
Трябва да изолираме $x$ отляво.
$3x-9+9<6+9$
$3x<15$
$\left( \frac{1}{3}\right) 3x<\left( \frac{1}{3}\right) 15$
$x<5$
Решението представено като интервал е $x\in \left(-\infty ,5\right)$
Задача 5
Какво е решението на неравенството?
$\frac{3}{2}x+4\leq 10$
$x\in (-\infty; 10]$
$x\in (-\infty; 4]$
$x\in (-\infty; \frac{3}{2}]$
$x\in (4; +\infty)$
Решение:
$\frac{3}{2}x+4\leq 10$
Трябва да изолираме променливата $x$ отляво.
$\frac{3}{2}x+4-4\leq 10-4$
$\frac{3}{2}x\leq 6$
$\left( \frac{2}{3}\right) \frac{3}{2}x\leq \left( \frac{2}{3}\right)6$
$x\leq 4$
Отговор $x\in (-\infty ,4]$
Задача 6
Какво е решението на неравенството?
$5-\frac{5}{2}x\geq -4$
$x\in (-\infty; -4]$
$x\in (-\infty; \frac{18}{5}]$
$x\in (-\infty; 5]$
$x\in (-\infty; \frac{5}{2}]$
Решение:
$5-\frac{5}{2}x\geq -4$
Трябва да изолираме променливата $x$ отляво.
$5-\frac{5}{2}x\geq -4$
$5-\frac{5}{2}x-5\geq -4-5$
$-\frac{5}{2}x\geq -9$ so
$\left( -\frac{2}{5}\right) \left( -\frac{5}{2}\right) x\leq -9\left( -\frac{2}{5}\right) \Longrightarrow x\leq \frac{18}{5}$
Решение е интервала
$x\in (-\infty; \frac{18}{5}]$
Задача 7
$\frac{5}{2}-x>x$
$x\in (-\infty; -1)$
$x\in (-\infty; \frac{5}{4})$
$x\in (-\infty; 1)$
$x\in (-\infty; 2)$
Решение:
$\frac{5}{2}-x>x$
Трябва да изолираме $x$ отляво.
$\frac{5}{2}>x+x$
$\frac{5}{2}>2x$
$\left( \frac{1}{2}\right) \frac{5}{2}>\left( \frac{1}{2}\right) 2x$
$\frac{5}{4}>x$
$x<\frac{5}{4}$
Решението е интевала $x\in (-\infty;\frac{5}{4})$
Задача 8
Решете неравенството
$-\left( 1-x\right) \geq 2x-1$
$x\in (-\infty; 0]$
$x\in (-\infty; -1]$
$x\in (-\infty; 2]$
$x\in (-\infty; 1]$
Решение:
$-\left( 1-x\right) \geq 2x-1$
We have to isolate the variable $x$ on the left side
$-1+x\geq 2x-1$
$1-1+x\geq 2x-1+1$
$x\geq 2x$
then
$0\geq 2x-x\Longrightarrow 0\geq x\Longrightarrow x\leq 0$
The solution interval is $x\in (-\infty ,0]$
Задача 9
$2+x\geq 3\left( x-1\right)$
$x\in (-\infty; 3]$
$x\in (-\infty; 2]$
$x\in (-\infty; \frac{3}{2}]$
$x\in (-\infty; \frac{5}{2}]$
Решение:
$2+x\geq 3\left( x-1\right) $
Трябва да изолираме отляво променливата $x$.
$2+x\geq 3x-3$
$3+2+x\geq 3x-3+3$
$5+x\geq 3x$
So $5\geq 3x-x$
$5\geq 2x$
$\left( \frac{1}{2}\right) 5\geq \left( \frac{1}{2}\right) 2x$
$\frac{5}{2}\geq x$
So $x\leq \frac{5}{2}$
Решението е $x\in (-\infty ,\frac{5}{2}]$
Задача 10
Решете неравенството:
$-7x+3\leq 4-x$
$x\in \lbrack 3;+\infty )$
$x\in \lbrack -7;+\infty )$
$x\in \lbrack -4;+\infty )$
$x\in \lbrack -\frac{1}{6};+\infty )$
Решение:
$-7x+3\leq 4-x$
$-7x+3-3\leq 4-x-3$
$-7x\leq 1-x$
$-7x+x\leq 1$
$-6x\leq 1$
$\left( -\frac{1}{6}\right) \left( -6x\right) \geq 1\left( -\frac{1}{6}\right) $
така $x\geq -\frac{1}{6}$
или $x\in \lbrack -\frac{1}{6};+\infty )$
Задача 11
$-7\leq -x<2$
$x\in (-2;7]$
$x\in (-7;2]$
$x\in \lbrack -2;7]$
$x\in (2;7)$
Решение:
$-7\leq -x<2$
$-7(-1)\geq -x(-1)>2(-1)\Longrightarrow 7\geq x>-2$ so
$-2< x\leq 7$
Решението е $x\in (-2,7]$
Задача 12
Какво е решението на двойното неравенство?
$-\frac{20}{3}< \frac{2}{3}x < x$
$x\in \left( \frac{2}{3};+\infty \right) $
$x\in \left( -10;+\infty \right) $
$x\in \left( 0;+\infty \right) $
$x\in \left( -\frac{20}{3};\frac{2}{3}\right) $
Решение:
$-\frac{20}{3}<\frac{2}{3}x < x$
Трябва да решим двете неравенства и да видим кои решения са едновременно решения и на двете неравенства.
$\left\{ \begin{array}{c} -\frac{20}{3}< \frac{2}{3}x \\ \frac{2}{3}x < x \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{3}x > -\frac{20}{3} \\ \frac{2}{3}x-x < 0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left( \frac{3}{2}\right) \frac{2}{3}x > -\frac{20}{3}\left( \frac{3}{2}\right) \\ -\frac{1}{3}x < 0 \end{array} \right\} $
Тогава $\left\{ \begin{array}{c} x>-10 \\ \left( -3\right) \left( -\frac{1}{3}\right) x>0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x>-10 \\ x>0 \end{array} \right\} $
Решението е
$x\in \left( -10;+\infty \right) \cap \left( 0;+\infty \right) \Longrightarrow x\in \left( 0;+\infty \right) $
Задача 13
Какво е решението на неравенствата?
$-7 < x-2 < 1$
$x\in \left( -5;3\right) $
$x\in \left( -3;5\right) $
$x\in \left[ -5;3\right] $
$x\in \left[ -3;5\right] $
Решение:
$-7 < x-2 < 1 \Longrightarrow -7+2 < x-2+2 < 1+2$
Така
$-5 < x < 3$
Решението е $x\in \left( -5;3\right) $
Задача 14
Решете двойното неравенство.
$3 < x-4\leq 10$
$x\in (4;10]$
$x\in (7;14]$
$x\in (-4;14]$
$x\in (7;10]$
Решение:
$3 < x-4\leq 10$
$3+4 < x-4+4\leq 10+4\Longrightarrow 7 < x\leq 14$
Решението е $x\in (7;14]$
Задача 15
$-1 < \frac{x-4}{4}\leq \frac{1}{2}$
$x\in (0;6]$
$x\in (\frac{1}{4};\frac{1}{2}]$
$x\in (-1;6]$
$x\in (\frac{1}{4};6]$
Решение:
$-1<\frac{x-4}{4}\leq \frac{1}{2}$
$-1\left( 4\right) < \left( 4\right) \frac{x-4}{4}\leq \frac{1}{2}\left(4\right)$
$\Longrightarrow -4< x-4\leq 2$
$\Longrightarrow -4+4< x-4+4\leq 2+4$
Така $0< x\leq 6$
Представено под формата на интервал, решението е $x\in (0,6]$
Задача 16
$2\leq \frac{4x+2}{3}\leq 10$
$x\in \lbrack 2;7]$
$x\in \lbrack 1;10]$
$x\in \lbrack 2;10]$
$x\in \lbrack 1;7]$
Решение:
$2\leq \frac{4x+2}{3}\leq 10$
$2\left( 3\right) \leq \left( 3\right) \frac{4x+2}{3}\leq 10\left( 3\right)$
$\Longrightarrow 6\leq 4x+2\leq 30$ така
$6-2\leq 4x+2-2\leq 30-2\Longrightarrow 4\leq 4x\leq 28$
$\Longrightarrow \left( \frac{1}{4}\right) 4\leq \left( \frac{1}{4}\right) 4x\leq 28\left( \frac{1}{4}\right)$
Решение: $1\leq x\leq 7$
Отговор: $x\in \lbrack 1,7]$
Задача 17
Решете модулното неравенство:
$\left\vert x-4\right\vert \leq 9$
$x\in \lbrack -5; 9]$
$x\in \lbrack -5; 13]$
$x\in \lbrack 9; 13]$
$x\in \lbrack -4; 9]$
Решение:
Прилагаме свойството:
$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$
$\left\vert x-4\right\vert \leq 9\Longrightarrow -9\leq x-4\leq 9$
$-9+4\leq x-4+4\leq 9+4\Longrightarrow -5\leq x\leq 13$
Решението е $x\in \lbrack -5; 13]$
Задача 18
Решете модулното неравенство:
$\left\vert 2x-7\right\vert \leq 1$
$x\in \lbrack 3,4]$
$x\in \lbrack 1,4]$
$x\in \lbrack 3,7]$
$x\in \lbrack 2,7]$
Решение:
Прилагаме свойството:
$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$
$\left\vert 2x-7\right\vert \leq 1\Longrightarrow -1\leq 2x-7\leq 1$
$-1+7\leq 2x-7+7\leq 1+7\Longrightarrow 6\leq 2x\leq 8$
Тогава $\left( \frac{1}{2}\right) 6\leq \left( \frac{1}{2}\right) 2x\leq 8\left( \frac{1}{2}\right) \Longrightarrow 3\leq x\leq 4$
Решението е $x\in \lbrack 3,4]$
Задача 19
Решете модулното неравенство:
$\left\vert x+\sqrt{2}\right\vert \geq 1$
$x\in (-\infty ,-\sqrt{2}] \cup \lbrack \sqrt{2},+\infty )$
$x\in \lbrack -\sqrt{2},\sqrt{2})$
$x\in (-\infty ,-1-\sqrt{2}] \cup \lbrack 1-\sqrt{2},+\infty )$
$x\in \lbrack -1-\sqrt{2},1-\sqrt{2})$
Решение:
Можем да приложим следното свойство:
$\left\vert A\right\vert \geq B\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A\geq B \\ \text{или} \\ -A\geq B \end{array} \right\}$
Трябва да намерим обединението на интервалите.
$\left\vert x+\sqrt{2}\right\vert \geq 1\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x+\sqrt{2}\geq 1 \\ \text{или} \\ -\left( x+\sqrt{2}\right) \geq 1 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ -x-\sqrt{2}\geq 1 \end{array} \right\} $
then $\left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ -1-\sqrt{2}\geq x \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ x\leq -1-\sqrt{2} \end{array} \right\} $
Отговор: $x\in \lbrack 1-\sqrt{2},+\infty )\cup (-\infty ,-1-\sqrt{2}]$
Задача 20
Решете модулното неравенство:
$\left\vert \frac{3x-1}{-4}\right\vert <2$
$x\in \lbrack -4; 3]$
$x\in \lbrack -2; 3]$
$x\in \lbrack -1; \frac{3}{2}]$
$x\in \lbrack -\frac{7}{3}; 3]$
Решение:
Трябва да приложим свойството
$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$
$\left\vert \frac{3x-1}{-4}\right\vert <2\Longrightarrow -2\leq \frac{3x-1}{-4}\leq 2$
$-2(-4)\geq (-4)\frac{3x-1}{-4}\geq 2(-4)$
$\Longrightarrow 8\geq 3x-1\geq -8$
$\Longrightarrow -8\leq 3x-1\leq 8$
$\Longrightarrow -8+1\leq 3x-1+1\leq 8+1$
$\Longrightarrow -7\leq 3x\leq 9$
Така $-7\left( \frac{1}{3}\right) \leq \left( \frac{1}{3}\right) 3x\leq 9\left( \frac{1}{3}\right)$
$\Longrightarrow -\frac{7}{3}\leq x\leq 3$
Решението е $x\in \lbrack -\frac{7}{3}; 3]$
Задача 21
Решете модулното неравенство:
$\left\vert \frac{3-5x}{3}\right\vert \geq 5$
$x\in (-\infty ,-\frac{12}{5}]\cup \lbrack \frac{18}{5},+\infty )$
$x\in (-\infty ,3]\cup \lbrack 5,+\infty )$
$x\in (-\frac{12}{5},\frac{18}{5}]$
$x\in (-\infty ,-\infty )$
Решение:
Трябва да приложим следното свойство:
$\left\vert A\right\vert \geq B\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A\geq B \\ \text{или} \\ -A\geq B \end{array} \right\} $
и да намерим обединението на двата интервала.
$\left\vert \frac{3-5x}{3}\right\vert \geq 5\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \frac{3-5x}{3}\geq 5 \\ \text{или} \\ -\left( \frac{3-5x}{3}\right) \geq 5 \end{array} \right\}$
$ \left\{ \begin{array}{c} 3-5x\geq 15 \\ \text{или} \\ -3+5x\geq 15 \end{array} \right\} $
$\left\{ \begin{array}{c} 3-5x\geq 15 \\ \text{или} \\ -3+5x\geq 15 \end{array} \right\}$
$\left\{ \begin{array}{c} -3+3-5x\geq 15-3 \\ \text{или} \\ 3-3+5x\geq 15+3 \end{array} \right\} $
$\left\{ \begin{array}{c} -5x\geq 12 \\ \text{или} \\ 5x\geq 18 \end{array} \right\}$
$\left\{ \begin{array}{c} x\leq -\frac{12}{5} \\ \text{или} \\ x\geq \frac{18}{5} \end{array} \right\} $
Така $x\in (-\infty ,-\frac{12}{5}]\cup \lbrack \frac{18}{5},+\infty )$
Добавете задача на текущата страница.
Текст на задачата
Решение:
Отговор:
Името ви,
ако желаете да се публикува
E-mail(ако желаете да ви уведомим, когато публикваме задачата)
Забележка
: може да използвате [tex][/tex] (ако желаете да използвате latex).
Верни:
Грешни:
Нерешени задачи:
Обратна връзка
Съдържание:
1 клас
,
2 клас
Електронна поща:
Форум за математика(архив)
Copyright © 2005 - 2025. Копирането на материали е нарушение на закона за авторските права и сайтът ще си търси правата!