Неравенства - задачи с решения

Решение:
Решение $x\in (-5,3]$

Това значи, че -5 не е решение, но 3 е решение на неравенствата.
Графично представяне:

Решение:
Отговор: $\left\{ 7,\frac{25}{3},8,\frac{41}{5},9\right\}$

Тъй като
$7\in \left[ 7;9\right]$

$\frac{25}{3}=8,33\in \left[ 7;9\right]$

$8\in \left[ 7;9\right]$

$\frac{41}{5}=8,2\in \left[ 7;9\right]$

$9\in \left[ 7;9\right] $

Решение:
Отговор: $x\in \left( \frac{-5}{2},+\infty \right)$

$2x+3>-2$
Трябва да изолираме отляво $x$, използвайки свойствата на неравенствата.
$2x+3-3>-2-3$

$2x>-5$

$\left( \frac{1}{2}\right)2x>-5\left( \frac{1}{2}\right)$
Така
$x>\frac{-5}{2}$,
Отговор: $x\in \left( \frac{-5}{2},+\infty \right)$

Решение:
Отговор: $x\in \left( -\infty ,5\right)$

$3x-9<6$
Трябва да изолираме $x$ отляво.

$3x-9+9<6+9$

$3x<15$

$\left( \frac{1}{3}\right) 3x<\left( \frac{1}{3}\right) 15$

$x<5$
Решението представено като интервал е $x\in \left(-\infty ,5\right)$

Решение:
$\frac{3}{2}x+4\leq 10$

Трябва да изолираме променливата $x$ отляво.

$\frac{3}{2}x+4-4\leq 10-4$

$\frac{3}{2}x\leq 6$

$\left( \frac{2}{3}\right) \frac{3}{2}x\leq \left( \frac{2}{3}\right)6$

$x\leq 4$

Отговор $x\in (-\infty ,4]$

Решение:
$5-\frac{5}{2}x\geq -4$

Трябва да изолираме променливата $x$ отляво.
$5-\frac{5}{2}x\geq -4$

$5-\frac{5}{2}x-5\geq -4-5$

$-\frac{5}{2}x\geq -9$ so

$\left( -\frac{2}{5}\right) \left( -\frac{5}{2}\right) x\leq -9\left( -\frac{2}{5}\right) \Longrightarrow x\leq \frac{18}{5}$
Решение е интервала
$x\in (-\infty; \frac{18}{5}]$

Решение:
$\frac{5}{2}-x>x$

Трябва да изолираме $x$ отляво.

$\frac{5}{2}>x+x$

$\frac{5}{2}>2x$

$\left( \frac{1}{2}\right) \frac{5}{2}>\left( \frac{1}{2}\right) 2x$

$\frac{5}{4}>x$

$x<\frac{5}{4}$
Решението е интевала $x\in (-\infty;\frac{5}{4})$

Решение:
$-\left( 1-x\right) \geq 2x-1$
We have to isolate the variable $x$ on the left side

$-1+x\geq 2x-1$
$1-1+x\geq 2x-1+1$
$x\geq 2x$
then
$0\geq 2x-x\Longrightarrow 0\geq x\Longrightarrow x\leq 0$

The solution interval is $x\in (-\infty ,0]$

Решение:
$2+x\geq 3\left( x-1\right) $

Трябва да изолираме отляво променливата $x$.

$2+x\geq 3x-3$
$3+2+x\geq 3x-3+3$
$5+x\geq 3x$

So $5\geq 3x-x$

$5\geq 2x$

$\left( \frac{1}{2}\right) 5\geq \left( \frac{1}{2}\right) 2x$

$\frac{5}{2}\geq x$

So $x\leq \frac{5}{2}$

Решението е $x\in (-\infty ,\frac{5}{2}]$

Решение:
$-7x+3\leq 4-x$

$-7x+3-3\leq 4-x-3$

$-7x\leq 1-x$

$-7x+x\leq 1$

$-6x\leq 1$

$\left( -\frac{1}{6}\right) \left( -6x\right) \geq 1\left( -\frac{1}{6}\right) $

така $x\geq -\frac{1}{6}$

или $x\in \lbrack -\frac{1}{6};+\infty )$

Решение:
$-7\leq -x<2$

$-7(-1)\geq -x(-1)>2(-1)\Longrightarrow 7\geq x>-2$ so

$-2< x\leq 7$

Решението е $x\in (-2,7]$

Решение:
$-\frac{20}{3}<\frac{2}{3}x < x$
Трябва да решим двете неравенства и да видим кои решения са едновременно решения и на двете неравенства.

$\left\{ \begin{array}{c} -\frac{20}{3}< \frac{2}{3}x \\ \frac{2}{3}x < x \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{3}x > -\frac{20}{3} \\ \frac{2}{3}x-x < 0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left( \frac{3}{2}\right) \frac{2}{3}x > -\frac{20}{3}\left( \frac{3}{2}\right) \\ -\frac{1}{3}x < 0 \end{array} \right\} $

Тогава $\left\{ \begin{array}{c} x>-10 \\ \left( -3\right) \left( -\frac{1}{3}\right) x>0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x>-10 \\ x>0 \end{array} \right\} $

Решението е
$x\in \left( -10;+\infty \right) \cap \left( 0;+\infty \right) \Longrightarrow x\in \left( 0;+\infty \right) $

Решение:
$-7 < x-2 < 1 \Longrightarrow -7+2 < x-2+2 < 1+2$

Така
$-5 < x < 3$

Решението е $x\in \left( -5;3\right) $

Решение:
$3 < x-4\leq 10$

$3+4 < x-4+4\leq 10+4\Longrightarrow 7 < x\leq 14$

Решението е $x\in (7;14]$

Решение:
$-1<\frac{x-4}{4}\leq \frac{1}{2}$

$-1\left( 4\right) < \left( 4\right) \frac{x-4}{4}\leq \frac{1}{2}\left(4\right)$

$\Longrightarrow -4< x-4\leq 2$

$\Longrightarrow -4+4< x-4+4\leq 2+4$

Така $0< x\leq 6$

Представено под формата на интервал, решението е $x\in (0,6]$

Решение:
$2\leq \frac{4x+2}{3}\leq 10$

$2\left( 3\right) \leq \left( 3\right) \frac{4x+2}{3}\leq 10\left( 3\right)$

$\Longrightarrow 6\leq 4x+2\leq 30$ така
$6-2\leq 4x+2-2\leq 30-2\Longrightarrow 4\leq 4x\leq 28$

$\Longrightarrow \left( \frac{1}{4}\right) 4\leq \left( \frac{1}{4}\right) 4x\leq 28\left( \frac{1}{4}\right)$

Решение: $1\leq x\leq 7$
Отговор: $x\in \lbrack 1,7]$

Решение:
Прилагаме свойството:

$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$

$\left\vert x-4\right\vert \leq 9\Longrightarrow -9\leq x-4\leq 9$

$-9+4\leq x-4+4\leq 9+4\Longrightarrow -5\leq x\leq 13$

Решението е $x\in \lbrack -5; 13]$

Решение:
Прилагаме свойството:
$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$

$\left\vert 2x-7\right\vert \leq 1\Longrightarrow -1\leq 2x-7\leq 1$

$-1+7\leq 2x-7+7\leq 1+7\Longrightarrow 6\leq 2x\leq 8$

Тогава $\left( \frac{1}{2}\right) 6\leq \left( \frac{1}{2}\right) 2x\leq 8\left( \frac{1}{2}\right) \Longrightarrow 3\leq x\leq 4$

Решението е $x\in \lbrack 3,4]$

Решение:
Можем да приложим следното свойство:
$\left\vert A\right\vert \geq B\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A\geq B \\ \text{или} \\ -A\geq B \end{array} \right\}$

Трябва да намерим обединението на интервалите.

$\left\vert x+\sqrt{2}\right\vert \geq 1\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x+\sqrt{2}\geq 1 \\ \text{или} \\ -\left( x+\sqrt{2}\right) \geq 1 \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ -x-\sqrt{2}\geq 1 \end{array} \right\} $

then $\left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ -1-\sqrt{2}\geq x \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\geq 1-\sqrt{2} \\ \text{или} \\ x\leq -1-\sqrt{2} \end{array} \right\} $

Отговор: $x\in \lbrack 1-\sqrt{2},+\infty )\cup (-\infty ,-1-\sqrt{2}]$

Решение:
Трябва да приложим свойството
$\left\vert A\right\vert \leq B\Longrightarrow -B\leq A\leq B$

$\left\vert \frac{3x-1}{-4}\right\vert <2\Longrightarrow -2\leq \frac{3x-1}{-4}\leq 2$

$-2(-4)\geq (-4)\frac{3x-1}{-4}\geq 2(-4)$

$\Longrightarrow 8\geq 3x-1\geq -8$

$\Longrightarrow -8\leq 3x-1\leq 8$

$\Longrightarrow -8+1\leq 3x-1+1\leq 8+1$

$\Longrightarrow -7\leq 3x\leq 9$

Така $-7\left( \frac{1}{3}\right) \leq \left( \frac{1}{3}\right) 3x\leq 9\left( \frac{1}{3}\right)$
$\Longrightarrow -\frac{7}{3}\leq x\leq 3$

Решението е $x\in \lbrack -\frac{7}{3}; 3]$

Решение:
Трябва да приложим следното свойство:
$\left\vert A\right\vert \geq B\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A\geq B \\ \text{или} \\ -A\geq B \end{array} \right\} $
и да намерим обединението на двата интервала.

$\left\vert \frac{3-5x}{3}\right\vert \geq 5\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \frac{3-5x}{3}\geq 5 \\ \text{или} \\ -\left( \frac{3-5x}{3}\right) \geq 5 \end{array} \right\}$

$ \left\{ \begin{array}{c} 3-5x\geq 15 \\ \text{или} \\ -3+5x\geq 15 \end{array} \right\} $

$\left\{ \begin{array}{c} 3-5x\geq 15 \\ \text{или} \\ -3+5x\geq 15 \end{array} \right\}$

$\left\{ \begin{array}{c} -3+3-5x\geq 15-3 \\ \text{или} \\ 3-3+5x\geq 15+3 \end{array} \right\} $

$\left\{ \begin{array}{c} -5x\geq 12 \\ \text{или} \\ 5x\geq 18 \end{array} \right\}$

$\left\{ \begin{array}{c} x\leq -\frac{12}{5} \\ \text{или} \\ x\geq \frac{18}{5} \end{array} \right\} $

Така $x\in (-\infty ,-\frac{12}{5}]\cup \lbrack \frac{18}{5},+\infty )$