Уравнение на парабола - задачи с решения

Решение:
$(y+4)^{2}=4\left( x+1\right)$
При $x=0$ имаме $(y+4)^{2}=4$

$y+4=\pm 2\Longrightarrow y=-2$ и $y=-6$ са пресечените точки на параболата с оста $y$.

При $y=0$, $4\left( x+1\right) =16\Longrightarrow x=3$

Отговор: $(0,-2); (0,-6); (3,0);$

Решение:
Тъй като фокуса е отляво на директрисата уравнението е

$y^{2}=4px$ и $p=-2$

Така $y^{2}=-8x$ е уравнението на параболата.

Решение:
Тъй като фокусът е отляво на директрисата уравнението има вида
$\left( y-k\right) =4p(x-h)^{2}$, $p=-3$ и $(h,k)=(-3,-1)$

Така
$\left( y+1\right) =-12(x+3)^{2}$ е уравнението на параболата

и $p=-3$ така фокуса е $(-3,-1+p)=(-3,-4)$

Решение:
Отговор: връх $V:(-4,2)$, фокус $(-\frac{127}{32},2)$, ос $y=2$, директриса $x=-\frac{1}{32}$

Ще допълним до точен квадрат.
$y^{2}-4y-8x-28=(y-2)^{2}-4=8x+28\Longrightarrow (y-2)^{2}=8x+32$

Уравнението на параболата е $\frac{1}{8}(y-2)^{2}=(x+4)$ така

върха е в точка $(-4,2)$ и $p=\frac{1}{32}$, фокуса е $(-4+p,2)=(-\frac{127}{32},2)$,
оста е $y=2$, а директрисата $x=-p=-\frac{1}{32}$

Решение:
Отговор: връх $(0,1)$, фокус $(4,1)$, директриса $x=-4$, ос $y=1$

Параболата е във вида $\left(y-k\right)^{2}=4p(x-h)$

$(h,k)=(0,1)$, $p=4$ върха е в точка $(0,1)$, фокуса в $(0+p,1)=(4,1)$

директрисата е $x=h-p\Longrightarrow x=-4$

Оста на симетрия: $y=k\Longrightarrow y=1$

Решение:
Отговор: връх: $(−5,−1)$, фокус: $(−5,−2)$, ос: $x=-5$, дирекриса: $y=0$

Параболата има вида $\left( x-h\right)^{2}=4p(y-k)$, $(h,k)=(-5,-1)$
$p=-1$
Така връха е в точка $(-5,-1)$, фокуса е в $(-5,-1+p)=(-5,-2)$

Директриса $y=k-p\Longrightarrow y=0$

Ос на симетрия $x=h\Longrightarrow x=-5$

Решение:
Отговор: $x^{2}=28y$

Параболата има връх разположен по средата между фокуса и директрисата. Върхът е $(0,\frac{7-7}{2})=(0,0)$ и $p=7$

Уравнението е във вида $\left( x-h\right)^{2}=4p(y-k)$

Така $\left(x-0\right)^{2}=28(y-0)\Longrightarrow x^{2}=28y$

Решение:
Отговор: $\left(x-5\right)^{2}=-24(y-1)$

В случая $p=-\left\vert 7-1\right\vert =-6$ и $(h,k)=(5,1)$
Уравнението има вида $\left(x-h\right)^{2}=4p(y-k)$

Така $\left( x-5\right)^{2}=-24(y-1)$

Решение:
Отговор: $x^{2}=\frac{1}{2}y$

Уравнението на параболата с ос, която съвпада с оста y има вида
$\left( x-h\right)^{2}=4p(y-k)$

Ако върха е $(0,0)=(h,k)$ получаваме
$\left( x-0\right) ^{2}=4p(y-0)\Longrightarrow x^{2}=4py$ и трябва да намерим $p$

Тъй като параболата минава през $(-2,8)$
$(-2)^{2}=4p\cdot 8=32p\Longrightarrow p=\frac{1}{8}$ така
$x^{2}=\frac{1}{2}y$ е уравнението на параболата.