Системи от (линейни) уравнения - задачи с решения

Решение:
Трябва да заменим x с 0 и y с $\frac{5}{2}$ и да получим две вярни уравнения.

$5(0) +2(\frac{5}{2}) = 0 + 5 = 5 \neq 1$

Виждаме, че дадената точна не задоволява пъврото уравнение. Поради това $(0; \frac{5}{2})$ не е решение на системата.

Решение:
Заместваме точката $(1; 3)$ в двете уравненя
$2(1) -3 =2 -3 = -1$
$3(1) +3 =3 +3 =6$
Виждаме, че $(1; 3)$ е решение и на двете уравнения, следователно тя е решение на системата.

Решение:
Виждаме, че 2-те прави се пресичат в една точка и тя е (2; 3) или x = 2, y = 3. Тази точка принадлежи и на 2-те прави и удовлетворява и 2-те уравнения. Поради тази причина точката (2; 3) е единствено решение на системата от уравнения.

Решение:
Виждаме, че 2-те прави съвпадат. Така, че 2-те прави имат безкрайно много общи точки, които са решения и на 2-те уравнения.

Верен отговор: системата има безкрайно много решения.

Решение:
Двете прави са успоредни. Те нямат общи точки. Следователно няма точка (x; y) от координатната система, която да удовлетворява 2-те уравнения едновременно.

Отговор: системата няма решение.

Решение:
Всяка система от уравнения може да има 3 типа от решения:
I) едно решение (правите се пресичат в една точка);
II) безкрайно много решения (правите съвпадат);
III) няма решене. (правите са успоредни и нямат пресечена точка).
Вижте картинката.
Системата не може да има 2 решения. Т.е. системата е от тип II или има безкрайно много решения. Ако умножим първото уравнение с (-3) ще получим второто. Графиките на 2-те уравнения съвпадат.

Точките с координати (1; 3) и (-1; -1) удовлетворяват и 2-те уравнения, следователно те са вярното решение.

Решение:
Когато система има безкрайно много решения това не значи, че всяка точка от равнината е решение на системата. Това можем да го проверим, когато изберем произволна точка $(2; 1)$, която не удовлетворява системата.
Нека сега се уверим, че системата има безкрайно много решения. Забележете, че ако умножим първото уравнение с 3 ще получим второто уравнение.
$(3) \ast (x +2y =1)$ $ \Longrightarrow 3x +6y =3$
Това значи, че двете уравнения са еквивалентни и е достатъчно да решим едно от тях.
$x +2y =1 \Longrightarrow x =1 -2y$
Можем да потвърдим, че точките от равнината, които удовлетворяват това съотношение между x и y са решения на първото уравнение и на 2-рото.
Избираме произволни стойности на y и изразяваме x.
Пример:
$y =1 \Longrightarrow x = -1$ Точката $(-1; 1)$ е решение на системата.
$y =2 \Longrightarrow x = -3$ Точката $(-3; 2)$ е решение на системата.
Системата има безкрайно много решения, но не всяка точка е решение на системата.

Решение:
Изразяваме в двете уравнения $\mathbf{y}$ (или $\mathbf{x}=$)
$y =4 -4x$ $3x -2 = -\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow y =4 -6x$ Да начертаем графиката на правата $\mathbf{y} =4 -4x$, чрез избиране на произволни стройности за x:
$x = -1 \Longrightarrow y = 8$
$x = 1 \Longrightarrow y = 0$
След като имаме 2-те точки можем да начертаем синята права.

Да начертаем правата $y =4 -6x$:
$x = -1 \Longrightarrow y =10$
$x =1 \Longrightarrow y = -2$

Това е червената права на картинката.
Точката на пресичане на 2-те прави е $(0; 4)$. Тази точка е решение на системата от уравнения.

Решение:
Червената и синята права преминават през 2 точки. Тези точки трябва да удовлетворяват 2-те уравнения. Нека да разгледаме 2-рата система.
Първото уравнение е вярно, когато заместим x и y с точки $(-2, 0)$ и $(10 ,8)$ така, че $6\mathbf{y} -4\mathbf{x} =8$ представлява червената права. По същия начин виждаме, че точките с координати $(6 ,0)$ и $(10 ,8)$ удовлетворяват 2-рото уравнение.
Когато заместим тези точки в другите системи не се получават верни уравнения следователно само тази система е решение.

Решение:
Намираме $\mathbf{y}$ в първото уравнение.
$ -5y =10x$ $ \Longrightarrow y = -2x$ Заместваме $\mathbf{y}$ във второто уравнение.
$21x -7( -2x) =28$ и намираме $x$
$21x +14x =28$ $ \Longrightarrow 35x =28$ $ \Longrightarrow x =\frac{28}{35} =\frac{4}{5}$ Сега можем да намерим стойността на y от първото уравнение.
$y = -2x$
$ \Longrightarrow y = -2(\frac{4}{5}) = -\frac{8}{5}$
Решението е $(\frac{4}{5} , -\frac{8}{5})$

Решение:
Нека да вземем първото уравнение и да изразим x, чрез y.
$x +y =3$ $ \Longrightarrow x =3 -y$

Да заместим x в другото уравнение.
$2x -y =0$ $ \Longrightarrow 2(3 -y) -y =0$ $ \Longrightarrow 6 -2y -y =0$

$6 -3y =0$ $ \Longrightarrow 6 =3y$ $ \Longrightarrow y =2$
Нека да се върнем към първото уравнение и да намерим x.
$x =3 -y$ $ \Longrightarrow x =3 -2 =1$
Отговорът е: $x =1\qquad y =2 $

Решение:
Ще решим 2-те уравнения за "x ="
$5x -\frac{1}{2}y = -1$
$ \Longrightarrow 5x = -1 +\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$

$3x -2y =1$ $ \Longrightarrow 3x =1 +2y$ $ \Longrightarrow x =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Получаваме

$ -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Така можем да намерим y.
$\frac{1}{10}y -\frac{2}{3}y =\frac{1}{3} +\frac{1}{5}$ $ \Longrightarrow -\frac{17}{30}y =\frac{8}{15}$

$y = -\frac{16}{17}$
Вече момжем да намерим x.
$x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}( -\frac{16}{17})$

$x = -\frac{1}{5} -\frac{16}{170} = -\frac{1}{5} -\frac{8}{85} = -\frac{25}{85} = -\frac{5}{17}$
Отговорът на системата е
$x = -\frac{5}{17}\qquad y = -\frac{16}{17}$

Решение:
За да съберете уравненията и една от неизвестните да изчезне коефициентите пред тази променлива трябва да са еднакви, но с различни знаци.
За тази цел умножаваме първото уравнение с $-\frac{1}{2}$, а второто с $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{c} -\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x +\frac{1}{5}y =\frac{2}{7}) \\ \frac{1}{3}(\frac{1}{2}x +\frac{1}{10}y =\frac{3}{7})\end{array}$

$ \Longrightarrow \begin{array}{c} -\frac{1}{6}x -\frac{1}{10}y = -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{6}x +\frac{1}{30}y =\frac{1}{7}\end{array}$
Така след като съберем 2-те уравнения елиминираме променливата x.
$ -\frac{1}{10}y +\frac{1}{30}y =0$
$ \Longrightarrow \frac{ -2}{30}y =0$
$ \Longrightarrow y =0$
и след като заместим тази стойност в първото уравнение имаме
$\frac{1}{3}x =\frac{2}{7}$
$ \Longrightarrow x =\frac{6}{7}$

Отговорът е
$x =\frac{6}{7}\qquad y =0 $

Решение:
Решаваме 2-те уравнения за "y = ".

$5x +1 =\frac{1}{2}y$
$ \Longrightarrow y =10x +2$

$3x -1 =2y$ $ \Longrightarrow y =\frac{3x -1}{2}$
Съставаме ново уравнение.
$10x +2 =\frac{3x -1}{2}$ и намираме x
$20x +4 =3x -1$
$ \Longrightarrow 17x = -5$
$ \Longrightarrow x =\frac{ -5}{17}$ и намираме y.

$y =10(\frac{ -5}{17}) +2 =\frac{-50}{17} +2 =\frac{ -16}{17}$
Отговор:
$x =\frac{ -5}{17}$ $y =\frac{-16}{17}$

Решение:
Умножаваме първото уравнение с -3, а второто с 2.
$\begin{array}{c} -6x -9y =3 \\ 6x +8y =0\end{array}$
Събираме 2-те уравнения.

$ -6x -9y +6x +8y =3 +0$ $ \Longrightarrow -y =3$ $ \Longrightarrow y = -3$
Заместваме тази стойност в първото уравнение.
$2x +3( -3) = -1$ $ \Longrightarrow 2x =9 -1$ $ \Longrightarrow x =4$
Решението на системата е x = 4, y = -3

Решение:
Нека числата, които търси са x и y.

$\begin{array}{c}2(x +y) =32 \\ x -y =0\end{array}$

Ще решим системата чрез заместване.
От второто уравнение имаме $\mathbf{x} =\mathbf{y}$
Заместваме в първото уравнение.
$2(x +x) =32$
$ \Longrightarrow 4x =32$
$ \Longrightarrow x =8$
Връшаме се отново в първото уравнение $\mathbf{x} =\mathbf{y} =8$

Решение:
Нека означим числата с x и y.
$\begin{array}{c}x +y =0 \\ x +123 =2y\end{array}$
От първото уравнение имаме
$x = -y$
Ще заместим във второто уравнение $ -y +123 =2y$ $ \Longrightarrow 123 =3y$ $\Longrightarrow y =\frac{123}{3} =41$
Като имаме на предвид, че $x = -y$ получаваме $x = -41$
Числата са
$\begin{array}{c}x = -41 \\ y =41\end{array}$

Решение:
Нека да означим с P броя на прасетата и с K броя на кокошките.
$\begin{array}{c}P + K =58 \\ 4P +2K =168\end{array}$
Ще използваме метода на елиминиране. Умножаваме първото уравнение с (-2).
$\begin{array}{c} -2P -2K = -116 \\ 4P +2K =168\end{array}$
Събираме 2-те уравнения и получаваме
$2P =52$ $ \Longrightarrow P =26$
тогава
$P + K =58$ $ \Longrightarrow 26 +K =58$ $ \Longrightarrow K =32$

Решение:
Нека да обозначим сумата която има Иван с I и сумата, която има Петър с P.
$\begin{array}{c}I =2P \\ I -6 =P +6\end{array}$
$I -6 =P +6$
$ \Longrightarrow 2P -6 =P +6$
$2P -P =6 +6$
$P =12$ заместваме в първото уравнение
$I =2\\P =24$
Иван има 24 лв., а Петър 12 лв.