Задачи от числови редици - задачи с решения

Решение:
[tex]a_{n+1}-a_n=0[/tex] означава, че [tex]a_{n+1}=a_n[/tex], откъдето [tex]137=a_1=a_2=a_3=...=a_{8999}[/tex]

Решение:
Рекурентната формула е [tex]a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0[/tex], а нейното характеристично уравнение е
[tex]r^2-2r+1=0[/tex] с двоен корен [tex]r_{1,2}=1[/tex]. Което означава, че [tex]a_n=c_1.1^n+c_2.n.1^n=c_1+n.c_2[/tex]. Но всяка редица, чиито общ член е линейна функция на поредния номер, е аритметична прогресия. Следователно [tex]a_n[/tex] е аритметичната прогресия, определна от [tex]a_1=4[/tex] и [tex]d=a_2-a_1=6-4=2[/tex]. Откъдето следва, че [tex]a_{15}=a_1+14.d=4+14.2=32[/tex]

Решение:
[tex]a_{19}=\frac{4.19-1}{19}=\frac{75}{19}[/tex]

Решение:
[tex]x_2=\frac{2.2+8}{4+3.2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}[/tex]

Решение:
[tex]a_5==-3+2^5+5^{5-3}=-3+32+5^2=29+25=54[/tex]

Решение:
[tex]a_{n+1}-a_n=2^{n+1}+n+1-(2^n+n)=2.2^n+n+1-2^n-n=2^n+1>0[/tex], откъдето редицата е растяща.