Задачи от Питагорова теорема - задачи с решения

Решение:
От Питагоровата теорема имаме [tex]AB^2=BC^2+AC^2[/tex], следователно [tex]AC^2=AB^2-BC^2=8^2-5^2=64-25=39[/tex].

Решение:
Щом триъгълника е правоъгълен имаме, че
3² + 4² = 5²
защото 25=25 така,че 3, 4, 5 могат да са страни на правоъгълен триъгълник

Решение:
От Питагоровата теорема имаме: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25[/tex]. Тъй като [tex]AB^2=5^2[/tex], AB=5.

Решение:
От Питагоровата теорема имаме:
[tex]AB^2=AC^2+BC^2[/tex]
[tex]25^2 = 7^2+BC^2[/tex]
[tex]625 - 49=BC^2[/tex]
Така, [tex]BC=\sqrt{576}=24[/tex]

Решение:
От Питагоровата теорема имаме: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289[/tex]. Тъй като [tex]AB^2=17^2[/tex], AB=17.

Решение:
Триъгълника, който се формира е правоъгълен, следователно можем да приложим Питагорова теорема.
$c^{2} = a^{2} +b^{2}$
Нека с $a$ означим разстоянието от основата до търсената точка, a b да е височината на кулата.
$a = 50 m$
$b = 25 m$
$c$ е дължината на кабела, която търсим.
От Питагорова теорема имаме:
$c^{2} = 50^{2} +25^{2}$
$ \Longrightarrow c^{2} = 2500 +625 = 3125 \text{m}^{2}$
$ \Longrightarrow c = \sqrt{3125} = 55,9$

Решение:
Дадена ни е дължината на диагонала на квадрата. Той го разделя на 2 еднакви триъгълника. Те са правоъгълни с равни катети.
Нека страната на квадрата е x. От Питагорова теорема имаме:
$x^{2} +x^{2}=\left (2\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=4\left (\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=8$
$x^{2}=\frac{8}{2} \Longrightarrow x^{2}=4$ $ \Longrightarrow x=\sqrt{4}$ $ \Longrightarrow x=2 \text{km}$
Следователно четирите страни на парцела са 2 км и лицето му е $S = x \times x$
$S = 4 \text{km}^{2}$
Отговор: 4кв. км.

Решение:
Можем да си представим правоъгълен триъгълник с основа $b$, която е дължината на сянката на дървото.
Нека означим с $a$ търсената дължина на дървото, a $c$ е хипотенузата или разстоянието от върха на дървото до края на сянката.

Тъй като триъгълника е прав ще приложим Питагорова теорема.
$c^{2} = a^{2} +b^{2}$
$ \Longrightarrow 4^{2} = a^{2} +\left (2,5\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 16 -6,25 = a^{2}$
$ \Longrightarrow 9,75 = a^{2}$
Така $a = \sqrt{9,75}$
$a = 3,12$ метра.

Решение:
AC=АВ/2 - страна срещу ъгъл от 30 градуса в правоъгълен триъгълник.
AC=6/2 = 3
От теоремата на Питагор имаме:
АВ²=ВС²+АС²
6² = ВС² + 3²
ВС² = 6² - 3²
ВС² = 36 - 9
[tex]BC^2=\pm27 \Rightarrow BC=\pm \sqrt{27}[/tex]
-27 няма смисъл.
[tex]BC=\sqrt{27} \Rightarrow BC=3\sqrt{3}[/tex]

Решение:
Можем да разделим триъгълника на 2 правоъгълни триъгълника. (Вижте картинката отдолу.)
От Питагорова теорема имаме уравненията

$\left( \sqrt{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}$
$\left( \sqrt{5}\right)^{2}=y^{2}+a^{2}$
И знаем, че $x + y = 3$

---

Сега
$\left( \sqrt{2}\right)^{2} -x^{2} =a^{2}$
$\left( \sqrt{5}\right)^{2}- y^{2}=a^{2}$

Така $\left( \sqrt{2}\right)^{2} -x^{2} = \left( \sqrt{5}\right)^{2}- y^{2}$

Получаваме система от 2 уравнения:
$\left\{ \begin{array}{c} 2-x^{2}=5-y^{2} \\ x+y=3 \end{array} \right. $

След заместване на $x=3-y$ в първото уравнение получаваме

$2-\left( 3-y\right)^{2}=5-y^{2}\Longrightarrow 2-9+6y-y^{2}=5-y^{2}$

Така $6y=5+7\Longrightarrow y=2$
Тъй като $5=y^{2}+a^{2}$

Тогава $a=\sqrt{5-y^{2}}=\sqrt{5-4}=1$