Примерен тест по математика за прием в Унсс

1. Стойността на израза log₂(√2/2) + cos²(π/4) е равна на:
0      1      -1      2      -2

2. Коя е стойността на израза √(-4)².√(2)^-4?
1      -1      -2      2      1/2

3. Изразът 5^{log₇17.log₅7} е равен на:
5      7      17      log₇ 5      log₅ 17

4. За аритметична прогресия е дадено, че 2a₅ + 3a₁₅ = 25. Да се намери сборът S₂₁ на първите 21 члена на прогресията.
S₂₁ = 100      S₂₁ = 105      S₂₁ = 120      S₂₁ = 210      S₂₁ = 315

5. Да се намери сумата, до която ще нарастнат 7500 лв., внесени на влог за една година, ако лихвата е 12% за година.
7800 лв.      8000 лв.      8400 лв.      8800 лв.      9000 лв.

6. Да се намери за кои стойности на параметъра a системата от уравненията:a²x + ay = 4 и 4x + y = 1 има безброй много решения.
a = 0      a = 1      a = 2      a = 4      a [4; 3√2]

7. На кое от дадените квадратни уравнения корени са числата 1/3 и -1/4?
12x² - x + 1 = 0      12x² + x + 1 = 0      12x² - x - 1 = 0      12x² + x - 1 = 0      12x² + 7x - 1 = 0

8. Сборът от коефициентите на квадратното уравнение ax² + bx + c = 0 е положително число, а свободният член c е отрицателно число. Кое от твърденията е вярно?
a > 0     b > 0     Уравнението няма реални корени.     Уравнението има корен в интервала (0; 1)      Уравнението има един отрицателен корен x₁ и корен x₂, по-голям от единица.

9. На колко е равен броят на корените на уравнението -5|1 - x| - 4(1 - x)2 = 1?
0      1      2      3      4

10. Кои са решенията на неравенството
x (1/3;1)      x (-∞ 1/3)      x (1; +∞)      x (-∞ 1/3) (1; +∞)      неравенството няма решения.

11. Решенията на уравнението log_2x(4/x) = 2 - 1/(log_x2) са:
x₁ = 1, x₂ = 2      x₁ = 1, x₂ = 4      x₁ = 1, x₂ = -4      x = 1      x = 4

12. Решенията на неравенството log_{(x + 3)/6)}(9 - x²) > 0 са:
x (-3; 3)      x (-2√2; 2√2)      x (-3; -2√2) (2√2; 3)      x (-∞; -2√2) (2√2; +∞)      x (0; 3)

13. Кое от числата е корен на уравнението (9^x - 3^x + 1)/3 + 3/(9^x - 3^x + 1) = 2?
x = 3      x = -2      x = -1      x = log₃2      x = log₃4

14. Решенията на неравенството (0,5)^{2x + 22 - x - 6} ≥ 4 са:
x (-∞; 1]      x [1; +∞)      x [0; 1]      x [1; 2]      x = 1

15. Да се намери 3/cos2α, ако tgα = 1/2.
5      10/3     1/4      (√5 ? 1)/4      (√5 + 1)/4

16. На кое от посочените числа е равно cos36°?
1/2      1/3      1/4      (√5 ? 1)/4      (√5 + 1)/4

17. Да се реши уравнението 3sin³x + 2cos²x + 4sinx - 2 = 0.
x = π/2 + 2kπ, k Z      x = kπ, x Z      x = 2kπ, k Z      x = kπ, k Z и x = π/12 + l.(π/2),l Z
x = π/12 + k.(π/2),k Z

18. Да се реши неравенството tg (x + π/6) > √3.
x (π/6 + kπ; π/3 + kπ), k Z      x (π/3 + kπ; π/2 + kπ), k Z      x (π/6 + kπ; π/2 + kπ), k Z
x (π/2 + kπ; 2π/3 + kπ), k Z      x (7π/6 + kπ; 5π/3 + kπ), k Z

19. Общият член на редицата 1, 1, -1/3, 1, -11/13, 1, . . . е равен на:
[(2n - 1)(-1)^{n + 1}]/(2n - 1)      [(n² + n)(-1)ⁿ]/(n² + n)      [(n² - n)(-1)ⁿ]/(n² - n)
[(n - 1)(n - 2)(-1)ⁿ + 1]/((n - 1)(n - 2) + 1)      [(n - 1)(n - 2) + 1]/[(n - 1)(n - 2)(-1)ⁿ + 1]

20. Дадена е функцията f(x) = x² - x - 6. Да се намерят корените на уравнението f[xf(2)] = 0.
x₁ = 1, x₂ = -2/3      x₁ = -1, x₂ = 2/3      x₁ = -1, x₂ = 3/2      x₁ = 1/2, x₂ = -3/4
x₁ = -2/3, x₂ = 3/2

21. За кои стойности на параметъра a функцията f(x) = log₄(4ax² + 4ax + 1) е дефинирана за всяко реално число x?
a [0;+∞)      a (?∞; 0)      a [0; 1)      a (0; 1]      a (0; 1)

22. Да се намери границата при x → 3 на функцията tg²(πx)/2.
0      1      -∞      +∞      -1

23. Да се намери границата при x → 0 на функцията tg²(5x)/[√1 - 3x² - 1]
?5/3      3/5      -3/5      -6/5      -50/3

24. Ако f(x) = x³/3 - x²/2 + 5/x - 7/x², то f '(-1) е равно на:
-17      -7      0      9      14

25. За кои стойности на реалния параметър a функцията f(x) = (x - a)/(3 - x) е растяща в интервала (3; +∞)?
a (-∞; 3)      a (3; +∞)      a (-∞; +∞)      a (-∞; -3)      a (-3; 3)

26. Да се намери броят на реалните корени на уравнението x³ - 6x² + 9x - 3 = 0.
0      1      2      3      4

27. Сумата от вътрешните ъгли на произволен изпъкнал петоъгълник е равна на:

360°      480°      540°      720°      960°

28. Основите на трапеца ABCD са AB = 12 и CD = 4. През пресечната точка O на диагоналите му е прекарана права, успоредна на основите, която пресича бедрото BC в точка M. Да се намери дължината на отсечката OM.

2      √5      2√2      2√3      3

29. Ъглополовящата на външния ъгъл при върха C на триъгълника ABC пресича правата AB в точка D. Да се намери големината на ъгъл ABC, ако BAC = 30^o и ADC = 45^o.

30°      60°      75°      90°      120°

30. В правоъгълния трапец ABCD (ABC = BCD = 90°) е дадено, че BC = CD. Каква е големината на тъпия ъгъл на трапеца, ако големините на ъглите на триъгълника ABD са последователни членове на аритметична прогресия?

105°      120°      150°      105° или 120°      120° или 150°

31. Лицето на равностранен триъгълник със страна a и лицето на правоъгълен триъгълник с хипотенуза b и остър ъгъл 30° се отнасят както 1 : 2. На колко е равно отношението a : b?
3 : 1      2 : 1      1 : 1      1 : 2      1 : 3

32. В правоъгълен триъгълник с катети 7 и 24 е вписана окръжност. Права, допираща се до окръжността и успоредна на хипотенузата, отсича втори правоъгълен триъгълник. Да се намери дължината на височината към хипотенузата на този триъгълник.

1/2     0,72     1     √2      √3

33. В триъгълника ABC са дадени AB = 8 и BAC = 60°. Лицето на триъгълника е равно на 6√3. Да се намери дължината на страната BC.

3      4      5      6      7

34. Върху катетите AC и BC на правоъгълния триъгълник ABC, външно за триъгълника, са построени квадратите ACMN и BCPQ. Точките N₁ и Q₁ са проекциите на точките N и Q върху правата AB. Ако AC = 3 и BC = 4, сумата NN₁ + QQ₁ е равна на:

7√2      5√2      5      6√2      6

35. Две окръжности с радиуси 1 и 4 се допират външно. Прекарани са двете им външни допирателни l₁ и l₂. Вътрешната им допирателна пресича l₁ и l₂ в точките M и N. На колко е равна дължината на отсечката MN?

4      4√2      5      5√2      3√2

36. В равнобедрен трапец с основи 4 и 9 е вписана окръжност. На колко е равно най-малкото лице на триъгълника с върхове центърът на тази окръжност и два съседни върха на трапеца?

3      4      4√2      5      6

37. През страната AB на триъгълника ABC е прекарана ранината α и проекцията на върха C върху α е точката C₁. Да се намери ъгълът между равнините (ABC) и α, ако лицето на триъгълника ABC е два пъти по-голямо от лицето на триъгълника ABC₁.

15°      30°      45°      60°      75°

38. Правоъгълен паралелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ има ръбове AB = 12, AD = 6 и AA₁ = 6. Да се намери разстоянието от върха B до равнината (ACB₁).

4      4√2     6√6     2√6      6√3

39. Обемът на правилна триъгълна пирамида е равен на 9, а ъгълът между околна стена и основата й има големина 45°. На колко е равен основният ръб на пирамидата?

2      3      4      5      6

40. Осното сечение на прав кръгов конус е правоъгълен триъгълник, а образуващата му има дължина 6 +3√2. На колко е равен обемът на вписаното в конуса кълбо?

32π/3      36π      40π/3      64π/3      125π/3