ОЛИМПИАДА НА САЙТА 3 КРЪГ 10-12+ КЛАС

[allier]

Поради големия интерес към продължаване на срока на олимпиада (поне 4 човека поискаха отсрочка ...), решения ще се приемат до утре в 20:00 часа.

[estoyanovvd]

Айде стига сте решавали!!! Казвайте отговорите!!!

[allier]

Ето част от отговорите:
2. а) не
б) да

3. n=21
6. p+q-2

В олимпиадата участваха отново минимален брой участници - estoyanov, martin, martoss. Поне още двама искаха преместване на срока за събота, но още не са предали, така че считам, че няма да предават. Резултатите, отговори, и т.н. ще излезнат до довечера, като през това време може да пускате вашите решения. Най-вече решението на estoyanov за 2а, на мартосс на 6, и на мартин на 3-та. Другите задачи са лесни, така че това са ключовите моменти в олимпиадата.

[martin123456]

3
[tex]nabc=(ab-1)(bc-a)(ac-1)=a^2b^2c^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ac-1[/tex]=>[tex]abc|(ab+bc+ac-1)[/tex]. нека [tex]ab+bc+ac-1=kabc[/tex]=>[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=k[/tex]. Но [tex]\frac{1}{a} \leq 1[/tex], както и другите, значи [tex]k \leq 2[/tex]. лявата страна на [tex]ab+bc+ac-1=kabc[/tex] е положителна, значи и дясната и значи [tex]k \geq 1[/tex].
считаме [tex]a \leq b \leq c[/tex].
1) [tex]k=1[/tex]=>[tex]ab+bc+ca-1=abc[/tex]. ако [tex]a \geq 3[/tex]=>[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc} \leq 1-\frac{1}{abc} < 1[/tex]. невъзможно. ако [tex]a=2[/tex]=>[tex]\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-\frac{1}{bc}=1[/tex]. ако [tex]b \geq 4[/tex]=>[tex]\frac{1}{bc} \leq 0[/tex]=>[tex]b =3[/tex] или [tex]b=2[/tex]. ако [tex]b=3[/tex]=>[tex]c=5[/tex]=>[tex](2,3,5)[/tex]. ако [tex]b=2[/tex]=>[tex]3=0[/tex].
2) [tex]k=2[/tex]=>ако [tex]a \geq 2[/tex]=>[tex]2 \leq \frac{3}{2}-\frac{1}{abc}[/tex], което е невъзможно. значи [tex]a=1[/tex]=>[tex]\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}=1[/tex]. ако [tex]b \geq 2[/tex]=>[tex]\frac{1}{bc} \leq 0[/tex]. значи [tex]b=1[/tex]=>[tex]0=0c[/tex]=>[tex](1,1,x)[/tex] е решение.
Получихме 2 решения [tex](2,3,5)[/tex] и [tex](1,1,x)[/tex] и техните пермутации.
[tex]n=abc-a-b-c+k[/tex]. при първото решение имаме [tex]n=21[/tex], а при второто [tex]n=0[/tex]. последното не е решение, понеже [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. с лесна проверка се проверява че [tex]t^2+z^2=21[/tex] няма решение в естествени числа.

[estoyanovvd]

Абсолютно вярно и почти като моето решение. Тук основното объркващо нещо беше сумата на два квадрата! В началото как ли не се мъчих да доказвам че n има делител от вида 4k+3 и какви ли не още глупости!

[allier]

Да, това за сумата от квадрати заблуждава, че задачата е по теория на числата

[martin123456]

а на 1ва и 4та какви са отговорите?

[allier]

5. [tex]\frac{a^2.ctg\frac{\alpha }{2 } }{4 }[/tex]
4. [tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{29} }[/tex]

[martin123456]

а на 1?

[estoyanovvd]

5. [tex]\frac{a^2.ctg\frac{\alpha }{2 } }{4 }[/tex]
4. [tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{29} }[/tex]

А аз защо получих на пета [tex]4a^{2}.cotg\frac{a}{ 2}[/tex]
а на 4-та [tex]\sqrt[3]{2\pm \sqrt{29} }[/tex]

[estoyanovvd]

На първа [tex]\sqrt[3]{4}[/tex]???

[martin123456]

на 1ва
Нека [tex]CH \bot AB[/tex]. ясно че [tex]H \in \overline{AD}[/tex]. нека [tex]CH=h[/tex], [tex]CD=x[/tex], [tex]CB=y[/tex].
[tex]S_{\Delta ADC}=\frac{x}{2}=\frac{h.AD}{2}[/tex], [tex]S_{\Delta DCB}=\frac{xy}{4}=\frac{h}{2}[/tex]. от първото намираме [tex]h=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex], заместваме във второто [tex]xy=2h \Leftrightarrow xy=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=\frac{2}{y}[/tex]. прилагаме косинусова т-ма в [tex]\Delta ACB[/tex]: [tex]1+y^2+y=(\sqrt{x^2+1}+1)^2 \Leftrightarrow y^2+y+1=(\frac{2}{y}+1)^2 \Leftrightarrow y^2+y=\frac{4}{y^2}+\frac{4}{y}[/tex][tex]\Leftrightarrow y(y+1)=4.\frac{y+1}{y^2} \Leftrightarrow y=\sqrt[3]{4}[/tex]=>[tex]x^2=\frac{4}{y^2}-1=\sqrt[3]{4}-1[/tex]=>[tex]x=\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}[/tex]

[allier]

Верен ти е отговорът martine - току що сравних през wolfram alpha.

Директно уравнението се получава [tex]x^4+2sqrt{3 }x-3=0[/tex].

[martin123456]

и аз така си мислех, понеже го сметнах с елката да видя приблизително това ли е

[allier]

Може да се реши и по-лесно ако се положи [tex]y=sqrt{3 }[/tex] и тогава например търсиш разлагане от вида (x+y).(...)

[martin123456]

да - за решаването на уравнението което написа - понеже има [tex]3[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex]
всъщност нещо не го решавам и така

[allier]

estoyanovv също е смятал вярно, но не е намерил правилната отсечка - той е намерил [tex]BC[/tex]. На martoss също е кратко решението - той намира разстоянието от D до BC.

[martin123456]

"правилната" ?

[allier]

Да, той търси BC вместо CD ...

[martin123456]

ем това е неправилната отсечка, не правилната

[allier]

Изпуснал съм едно "не"


РЕЗУЛТАТИ от 3ти КРЪГ:

Martoss - 10/0/0/0/0/8 = 18
Martin123 - 10/10/10/10/10/1 = 51
Estoyanovv - 8/5/10/8/9/0 = 40

Специални поздравления на martoss за решението на 6-та, което, въпреки че е малко по на интуиция, е доста добро.

[estoyanovvd]

Къде ми е грешката?

[estoyanovvd]

Аха ясно. А защо на втората имам само 5 точки?

[estoyanovvd]

Не виждам къде ми е грешката на втората!

[estoyanovvd]

Бихте ли ми казали и защо не е плюс минус на четвъртата?