Учител и момче...

[popawili]

Не си ме засегнал.
Сега вярно,че формулировката не е ясна.
Ти някъде в коментарите беше писал "Как да направим така,че ученик,учител и центъра на окръжността да са на една права".Това е просто условието на движение на ученика още от тръгването.Това съм имал в предвид като казвам "зад гърба му".Сега , че от даден момент нататък ученика може да тръгне и по диаметъра без да сменя посоката дава решение с по малко плуване но в момента на излизането на сушата ще бъде по малко отдалечен от учителя.

[mkmarinov]

Видях всички да използват, че ученик, учител и център могат да са по всяко време на една права (в началото), но никъде не видях доказателство на това твърдение.

[popawili]

Абсолютно си прав.
Значи ученика може поддържа ъглова скорост като на учителя само до [tex]\le\frac{1}{ 4}r[/tex] до центъра.
Затова на разстояние [tex]\frac{1}{4 }r[/tex] от центъра ще бъде принуден да тръгне по правата която в този момент се определя от него и учителя.

[drago]

Нека учителят е в точка [tex]T[/tex] от окръжността, [tex]O[/tex] е центъра и, [tex]T_1[/tex] е противоположната на [tex]T[/tex] спрямо [tex]O[/tex], момчето е т. [tex]M[/tex]. В началото [tex]M \equiv O[/tex] .
Зa по нагледно да си представим, че [tex]TOT_1[/tex] e една дъска фиксирана в [tex]O[/tex], която [tex]T[/tex] я върти, като се движи по окръжнстта. Вместо да плува, [tex]M[/tex] върви по дъската. Нека M се отдалечи малко от O и остане неподвижен. Тогава M ще има моментна скорост, която е перпендикулярна на дъската и е с големина [tex]\frac{MO}{OT}[/tex] от тази на учителя. Така, че докато [tex]MO \lt \frac{1}{4}OT[/tex], момчето ще може да да се отдалечава и с някаква > 0 скорост по дъската, обратно на учителя, така че сбора от двете векторни скорости да е равен на [tex]\frac{1}{4}[/tex] от МАКСИМАЛНАТА скорост на учителя. Като стигне до 1/4 от радиуса е ясно какво прави.
Това решение има един малък недостатък. Колкото повече ученика приближава 1/4 от радиуса, толкова повече скоростта му в посока по дъската клони към 0. За да бъде съвсем издържано, трябва да видим, че той достига този предел. За да го обосновем трябва да се реши едно лесно диференциално у-ние. Но и това може да се байпасне: достатъчно е да придвижим ученика, така че
[tex]OM = \frac{1}{4}R - \epsilon[/tex]. До там скоростта му по дъската се подпира отдолу от нещо > 0. При достатъчно малко [tex]\epsilon[/tex] втората фаза е същата.
Това решение имах предвид, като пуснах задачата. Но като видях първия пост на amsara, която имаше хубава идея, но с мъничко наивни разсъждения, ми хрумна и друго решение.
Момчето плува до някаква т. M, за която [tex]OM = \frac{1}{4}R - \epsilon[/tex], без да му пука какво прави учителя. След това почва да плува с макс. си скорост по окръжност с център О и същия радиус в една от двете посоки(без значение коя). Тъй като ъгловата му скорост е по-голяма от макс. възможна ъглова скорост на учителя, ще дойде момент, в който ще се намира противоположно на него спрямо O. Това може да се обоснове съвсем строго със съображения за непрекъснатост. От там нататък е същото.
Интересно е също, че не е съществено първоначално момчето да е в центъра. Може да е навсякъде. Просто отива до центъра и от там нататък сме в първоначалните предположения. Точно като в онзи виц как математика прави чай