Построителна задача

[ins-]

Решението ти може и да е вярно. Но е прекалено абстрактно на места. Вероятно да отговориш на всички въпроси и да го изпишеш подробно ще е едно и също. Ще се опитам да формулирам моите максимално добре, за да те улесня.

[inveidar]

Ми то ние не знаем кой от дадените четири ъгъла е А и кой е В. Или знаем? Аз попитах това и преди, но никой не ми отговори.

[ins-]

Знаем. <BAC=<A, <ABC=<B, <BCD=<C, <CDA=<D и AC=d1, BD=d2. Това е известно.

[ins-]

Чета решението. Не виждам как използваш дължините на дигоналите като дължини. Като отношение със сигурност го правиш. Това ме притеснява малко. Нека допуснем, че си построил точките A и B, за които AC/BD=d1/d2 (Целта ми е да разбием решението на части).
Какво ти помага това в живота? Би ли го описал без аритметика с вектори (събиране и изваждане на вектори)?

[drago]

Нека допуснем, че си построил точките A и B, за които AC/BD=d1/d2 (Целта ми е да разбием решението на части).
Какво ти помага това в живота?...

Добре, можеш ли да построиш образ на точка при хомотетия с център О и коефициент= d1/AC.
Ako да, тогава като го направиш за точките А,B,C,D ще получиш четириъгълник, на който 2-та диагонала вече са d1 и d2.
Не си ли срещал построителни задачи, в които не можем веднага да построим дадена фигура, но можем да построим подобна на нея като запазим пропорциите. Е, правим го и после с хомотетия вече довършваме.

[inveidar]

C риск да стана досаден - можеш ли да опишеш построението стъпка по стъпка? 1), 2) и т.н. Тогава, може би, ще можем да го осмислим.

[drago]

Не си досаден, но това което ме караш да правя е досадно, тежко и безинтересно. И няма да го направя!
Не е нужно да се описва стъпка по стъпка самото построение, за да се убеди човек, че става и да разбере как може да се построи.
Казвам например, че може да се построи образ на даден четириъгълник при хомотетия с ц. О и k=L1/L2, където L1 и L2 са дадени отсечки. Пропускам обаче всички досадни подробности и а ла Талес построения...
Както и да е, ако има съществени въпроси ще се постарая да отговоря.

[inveidar]

Е аз не искам всички подробности, естествено. Искам точно това, което казваш. Първо построяваме четириъгълник, който... не да ми описваш точно как го построяваш. Но ако може да изредиш последователността от по-съществените стъпки. Първо какво построяваш, второ, трето?

[ins-]

Един приятел прочете написаното решение и каза, че не е коректно, защото не можем едновременно да фиксираме C и D, защото така трябва да знаем CD, което реално не е така. Каза, също така, че си направил доста добър опит за решение. Прав ли е?

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2511830

Ето една идея за решение. Би трябвало да е коректна. Ако някой иска - може да го разпише по-подробно.

[inveidar]

При построителните задачи имаме елементарни построения, коитоса най-простите построения. След това имаме основни построителни задачи, които се състоят от елементарни построения. За тях иде реч. Примерно, построяването на симетрала на отсечка е основна построителна задача. Казваш: построяваме симетралата на отсечката и не обясняваш как. Но трябва да кажеш отсечката коя е и с каква дължина е, произволна ли е или е дадена. Това искам да ми обясниш, ако е възможно. Само основните построения. Триъгълник по три страни, примернжо. Точката еди коя си, хомотетична на точката еди коя си при хомотетия с център еди кой си и коефициент еди кой си. За това говоря. Става ли?

[inveidar]

Един приятел прочете написаното решение и каза, че не е коректно, защото не можем едновременно да фиксираме C и D, защото така трябва да знаем CD, което реално не е така. Каза, също така, че си направил доста добър опит за решение. Прав ли е?

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2511830

Ето една идея за решение. Би трябвало да е коректна. Ако някой иска - може да го разпише по-подробно.

Не бих казал, че е много коректна. Ти разбираш ли какво е (АВС)?

[ins-]

(ABC) би трябвало да дъга, от която AC се вижда под <B или 180-<B (по вероятно <B). Тази дъга е построима.

[inveidar]

(ABC) би трябвало да дъга, от която AC се вижда под <B или 180-<B (по вероятно <B). Тази дъга е построима.

Естествено, че дъгата е построима. Въпросът ми е каква е тази въртяща хомотетия, дето изпраща АВС в другата дъга, ако става въпрос за дъги? Има ли я изобщо и как се намира центъра и?

[ins-]

Вероятно не се е изразил правилно. Искал е да каже ротация или хомотетия. Затова поисках по-детайлно решение.
Твърдя, че използвания подход е много вероятно да е правилен, защото мой познат твърди, че е решил задачата по сходен начин. Човека има доста опит и съм склонен да му се доверя, но докато не видя и проверя за себе си решението - задачата остава леко нерешена

[inveidar]

Що, бе, има и въртяща хомотетия! Въпросът ми е как се намира центъра, ако е такава. А на този Скитин много много не му вярвам!

[ins-]

Времето ще покаже. Ще излезе от някъде (разбираемо) решение. Затова бях поискал преди време да се направи раздел "Открити задачи" или нещо от сорта. Повечето от задачите, които пускам са някакви подобни.

[drago]

Tази идея маркирана в artofproblemsolving съм я мислил. Това с построяването на двете дъги и т.н. Не виждам как може да се доведе до успех. Защото, ОК, предполагам има ротация и след това хомотетия (или обратното-едно и съшо е) с един и същ център H, която праща окръжността ABC в CDA, като т.X отива в т.Y. Oбаче при това преобразувание за съответни 2 точки [tex]X^', Y^'[/tex], съответно от едната и другата дъга, няма да е вярно [tex]\angle Y^'AX^' = \angle DAB[/tex]. Разбирате ли, ако можем да намерим такова построимо преобразувание, което запазва тези ъгли, тогава ще е по лесно. Това е проблема с този подход.

Така, сега по моето решение. Някакъв приятел казал, че не може да фиксираме едновременно C и D, тъй като не знаем CD. Абе, ins, имам чувство, че зацикляме!! Фиксираме C и D като CD не е равно на даденото естествено, след това с така фиксираните C и D намираме ABCD, така че AC/BD = d1/d2, където d1 и d2 са дадените 2 диагонала. Т.е. първо построяваме подобен на търсения четириъгълник. И след това вече една хомотетия ще оправи работата.
Толкова ли няма един човек в този форум, който да разбира това решение, така както е написано и след всичките тези уточнявания?! Ако е така, ще го напиша подробно, като за учебник. Ама няма да е скоро.

[inveidar]

OK най-накрая някой да попита нещо, иначе ще остана с впечатлението, че обяснявам хубаво, пък знам, че не е много така
Задай си въпроса: как могат да се генерират всички четериъгълници по зададени 4 ъгли (като знаем кой ъгъл къде е). Като местим АB и CD по фиксирания ъгъл, така че да остават успоредни на себе си (по-точно на 2 фиксирани прави). Другия начин е да фиксираме и CD и да местим само AB, като после прилагаме всевъзможни хомотетии с център т.О.
Това означава, че ако нашия четериъгълник е построим, то задължително при местенето на А и B ще има положение, в което [tex]\frac{BD}{AC}[/tex] ще е равно на отношението на дадените диагонали. Ако вече сме намерили такива A и B след това ще приложим една хомотетия с ц. т.О и подходящ коефициент, за да получим четериъгълник, в който вече двата диагонала ще са равни съответно на дадените.
Ясно ли е или пиша още ?

Положение ще има, но ние как ще го намерим? Това не ми е ясно, защото при местенето се променят също и два от ъглите на четириъгълника, нали?. Иначе твоето решение, убий ме, не мога да го разбера! Иначе открих една малка печатна грешчица в [tex]B^'D^'=kAC,\, OB^'=OB=tOD_1,\, OA=tOD[/tex]. Средното трябва да е [tex]OB^'=OB=tOD_1^'[/tex].

[drago]

...Положение ще има, но ние как ще го намерим? Това не ми е ясно, защото при местенето се променят също и два от ъглите на четириъгълника, нали?...

При местенето не се променят никакви ъгли, те стоят каквито трябва да са. AB се мести успоредно на първоначалното си положение. Колкото до великия екзистенциален въпрос- как ще намерим такова положение- приятелю, на това е посветено цялото ми последващо писание, чети го! Онова реално число [tex]t[/tex] дето стои там при векторната аритметика, не е случайно, него търсим и намирането му отговаря на твоя въпрос
Благодаря за корекцията на грешчицата, обаче не мога да я поправя- не мога да си редактирам поста...

[ins-]

Ако беше го написал като по учебник в началото щяхме да избегнем всички тези уточнения. Написаното от теб наистина не е лесно за разбиране - поне 3-ма души са го прочели и са изпитали затруднения. Това, което прави една задача трудна или лесна, според мен, е предишният опит на решаващия. Може да си решавал много подобни задачи и затова написаното от теб да ти се струва очевидно, но за много хора не е такова. Ако ти остане време - наистина го напиши като по учебник.

[ptj]

Може би аз нещо не съм обяснил както трябва, нямам друго обяснение за тези въпрoси.
Как да не го знаем този ъгъл като: [tex]\angle DOC= \pi - \angle A - \angle B[/tex]! A последните 2 ъгъла са дадени!

Това не е вярно!
[tex]\angle DOC=\pi -\angle ODC-\angle OCD[/tex]

Ъглите [tex]\angle ODC[/tex] и [tex]\angle OCD[/tex] са съответно части от дадените [tex]\angle ADC[/tex] и [tex]\angle BCD[/tex].

П.П. Ти тръгваш от нещо, което ако го знаем вече сме решили задачата.

[inveidar]

Вярно е, защото О не е пресечна точка на диагоналите! Чети по-внимателно.

[drago]

...Ако ти остане време - наистина го напиши като по учебник.

OK, ще постъпим така: Ще структурирам решението в поредица от построителни задачи. Ще тръгна малко отзад напред, но това няма значение, тъй като накрая всичко ще обединим.

Построителна задача N 1.
Дадени са две точки [tex]C_1, C_2[/tex] и известна пропорция [tex]k_1[/tex]. Да се построи множеството от точки [tex]X[/tex], такива че: [tex]C_1X = k_1C_2X[/tex].
Под "известна пропорция [tex]k_1[/tex]" разбирам, че [tex]k_1= \frac{A_1B_1}{A^'_1B^'_1}+ \dots + \frac{A_nB_n}{A^'_nB^'_n}[/tex], където последните са краен брой дадени известни отсечки.

Построителна задача N 2.
Дадена е права [tex]l[/tex], точка [tex]O[/tex], известна пропорция [tex]k_1[/tex] и известен вектор [tex]\vec{c}[/tex] (имаме даден/построен представител на този вектор).
Да се построи точка(точки) [tex]X \in l[/tex], такава че: [tex]|k_1 \vec{OX} + \vec{c}| = |\vec{OX}|[/tex].

Първият ми въпрос е: по коя от двете задачи има нужда от пояснение по построението?

[inveidar]

По първата: Какви са тези дадени извесни отсечки, като в условието няма отсечки? И колко е крайния брой, знаем ли го, или не! Пак ми замъгли съзнанието!!!

[drago]

дадени са отсечките [tex]A_1B_1, A^'_1B^'_1, \dots, A_nB_n, A^'_nB^'_n[/tex], дадени означава, че са начертани в/у равнината, [tex]n[/tex] разбира се че го знаем, по нататък [tex]k_1= ...[/tex] на каквото е написано и т.н.