Без производни - 2

[xexe]

Втори случай. Нека сега [tex]2<t_{1}<t_{2}[/tex]. Ясно е, че [tex]t_{1}-1>1[/tex] и [tex]log_{t_{1}}(t_{1}-1)>0[/tex]. Тогава от (1) от предишния случай следва, че [tex]\frac{log_{t_{1}}(t_{2}-1)}{log_{t_{1}}(t_{1}-1) }>log_{t_{1}}t_{2} \Leftrightarrow log_{t_{1}-1}(t_{2}-1)>log_{t_{1}}t_{2}[/tex] .
Да положим [tex]log_{t_{1}-1}(t_{2}-1)=x[/tex] (x>1 в този случай!) и [tex]log_{t_{1}}t_{2}=y[/tex], y>1. Трябва да докажем, че [tex]x>y[/tex].
От полагането имаме [tex](t_{1}-1)^{x}=t_{2}-1[/tex] и [tex]t_{1}^{y}=t_{2}[/tex], т.е [tex](t_{1}-1)^{x}=t_{1}^{y}-1[/tex] (4).

Нека сега [tex]t_{1}-1=a \Rightarrow a>1[/tex] и от (4) получаваме [tex]a^{x}+1=(a+1)^{y}[/tex].
Но от предишната задача Без производни ние вече знаем, че [tex]a^{x}+1<(a+1)^{x}[/tex] и от предишното неравенство получаваме [tex](a+1)^{y}=a^{x}+1<(a+1)^{x}[/tex], т.е [tex]x>y[/tex], което и трябваше да докажем!

[grav]

Да, де, но границите не са определен вид производни, нали?

Границите на функции са определен тип производни, но не беше в това въпроса.

grav, отвори един учедник за 10 клас и виж, как се дефинира степен с реален аргумент!

Ако имах, щях да го отворя. Това, което ме притеснява е, че няма коректна дефиниция, но може би греша.

[mkmarinov]

Дефиницията, която xexe даде за [tex]a^x[/tex], и която е в учебниците, е почти коректна.
По-големият проблем е как се дефинира логаритъм БЕЗ да се използва понятието "обратна функция".
Също и че в учебникът на Просвета за 12 клас ПП присъстват обратни функции, производна на логаритъма и експоненциална функция.
И че решение с обема на даденото може да докаже цялата теория, необходима за решаването на задачата с производни.

[inveidar]

Сега забелязах, че и в Анубис се споменава за обратни функции, не съм го забелязал. Но иначе определението е:
Функцията, която се получава, като на всяко положително число х съпоставим числото [tex]y=log_{a}x[/tex].
А това за обратните стои като кръпка и при горното определение е напълно излишно.

[Mr.G{}{}Fy]

Прегледах отгоре-отгоре учебниците за 12 клас ПП Архимед и Регалия и не видях производна на логаритмична функция.