ОЛИМПИАДА НА САЙТА 10-12+ КЛАС - II КРЪГ!!!

[martin123456]

моля те allier

[estoyanovvd]

Иска ли някой друг да дава задачите за трети кръг, питам пак?

[martin123456]

аз нямам проблем кой ги задава, имам проблем да чакам повече от 1 ден

[allier]

Ако искаш и ти да участваш, мога да те сменя, но само за един кръг - то аз съм пуснал вече едни задачи за 6-7 клас, които и за 10-12+ ще станат . Иначе 5-та задача Мартин е направил това, което реално може да се направи без компютър - отговорът е 2 и 3, като задачата се прави по следния начин - едно решение е (22,18), значи трябва 40n+1 да е точен квадрат. Като се намерят още две решения (които далеч не са малки числа), се намират две редици, в които трябва да принадлежи n и с компютър се търси модул, по който остатъците на членовете на редиците не съвпадат. Иначе има един линк в другата тема за задачата 2n+1, 3n+1, 6n+1, където има материал по въпроса - доказано е, че не може да има много решения една такава система.

[martin123456]

да и аз си мислех че не може да има безкрен брой ре апна системата и си написах програма да ми го провери
но програмната не работи с големи числа
така че не може да съм сигурен
та казваш линка е нашето решение единствено
няма ли друго?
п.с. четох линка, че решенията са краен брой при дадено обстоятелства, но не се казва колко са!

[ins-]

estoyanovvd, аз бих могъл да пусна задачи за 3-4 кръг, но смятам, че съм предложил немалко задачи, а и не бих дръзнал да пускам задачи от области в които не съм добър.
Смятам, че за да се получи добра тема - трябва да се съберем повече хора с различни силни области в математиката.
Не съм виждал избрани задачи на много хора от форума, ганка, мартин, martosss, seppen, каракехайов, mkmarinov и много други добри математици, така че вярвам, че ще има още много интересни моменти в олимпиадата.
Странно, че на задачата от теория на числата никой не е пуснал решение.

[Станислав]

Странно, че на задачата от теория на числата никой не е пуснал решение.

Може би, защото се е предполагало, че може да бъде решена без наличието на компютър...

[martin123456]

хах ама тя и с компютър не се решава

[allier]

Да, и с компютър е трудно, ако не знаеш точно какво да правиш. Иначе, ако някой беше доказал за 2 и за 3, то това е максимума, който може да се очаква за тази олимпиада.

[ganka simeonova]

Аз доказах, че при х+у=40, к=2 или к=3, но честно казано ме беше срам да пусна такова "решение", защото не е цяло решение

[Станислав]

Може би, защото не е вярно. При x+y=40 има безброй много решения. 2 и 3 трябва да се получат като се намерят и останалите сборове.

[allier]

Има и още един факт, който може би е полезен в тази задача - (x-y) също винаги е точен квадрат.

[martin123456]

[tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+x-y=y^2 \Leftrightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P} \cap p|d=(x-y, 2x+2y+1)[/tex]=>[tex]p|y[/tex]=>[tex]p|x[/tex]=>[tex]p|1[/tex]=>[tex]d=1[/tex]=>[tex]x-y[/tex] и [tex]2x=2y+1[/tex] са квадрати. оттук следва че за всяко [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието [tex]x-y[/tex] и [tex]2x+2y+1[/tex] са квадрти.
Тъй като [tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3x^2-x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3(x+y)(x-y)+(x-y)=x^2 \Leftrightarrow (x-y)(3x+3y+1)=x^2[/tex] по аналогичен начин следва че [tex]3x+3y+1[/tex] е квадрат за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието.

[allier]

Да, точно така се доказва, че и трите израза са точни квадрати.

[martin123456]

allier, ти къде я намери тази задача 5тата?

[allier]

Тя е стара задача - давана е на олимпиада в Германия май преди 20 години - но само с (x-y). Той ins би трябвало да може да я намери из неговите колекции от задачи.

[martin123456]

имах предвид варианта с [tex]k[/tex].

[allier]

Варианта с k аз съм го измислил ... то не е особено трудно. Виж решението е друг въпрос ..

[ins-]

Да ... не беше нужно да търся много. Аз имам много материали за доста олимпиади. Ето линка със задачата:

http://www.oliver-faulhaber.de/mathemat ... htm#BWM882

Не знам немски, затова олимпиадата на Германия е пренебрегната.

[allier]

Да, благодаря, че я издири ... Оказва се, че и 2(x+y)+1 и 3(x+y)+1 има в оригиналната задача.

[Николай Каракехайов]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5db2ddd0d1

Подобна задача е била давана сравнително скоро и във Франция. Дали не може да се направи някакво обобщение?

[martin123456]

ще има ли трети кръг и кога?

[allier]

Пак предлагам - ако estoyanovv иска да участва, мога да направя аз третия кръг (заедно с ins) например. До утре ще е готов.

[ins-]

С каквото мога - ще помогна, който и да пуска задачите.

[estoyanovvd]

Добре. Давайте утре задачите!