Построителна задача

[ins-]

Интересни задачи. По първата - вероятно се свежда до 2 подзадачи.
1. Да се намери k1.
2. Да се определи ГМТ на X.

Ако е така - това, което ме притеснява е как с линийка и пергел бихме могли да намерим точната стойност на k1.

[drago]

ГМТ на Х e окръжност с диаметър 2-те точки на правата [tex]C_1C_2[/tex], които удовлетворяват условието. Когато к_1=1окръжността се изражда в симетралата.
Не ти трябва да намериш точната стойност на [tex]k_1[/tex], за да я построиш. Нали [tex]k_1[/tex] може да бъде и ирационално число?
Въобще това с к_1 съм го написал, защото при построителни задачи как си представяш да ти зададат реално число? Там има само отсечки! Реално число може да бъде зададено като отношение на две дадени отсечки или сума на няколко такива отношения, затова е целия този цирк с представянето на [tex]k_1[/tex].

[ins-]

Нека бъдем малко по-конкретни - какво е геометричното място на точки X, за които [tex]C_1X=\sqrt{3}C_2X[/tex]?

[drago]

В/у правата [tex]C_1C_2[/tex] има точно 2 точки [tex]X[/tex], за които [tex]C_1X=\sqrt{3}C_2X[/tex]. Намираш ги и построяваш окръжност с диаметър тези точки.

[ins-]

Имам въпроси:

1. Защо за всички точки X от тази окръжност да е в сила, че [tex]C_1X=\sqrt{3}C_2X[/tex]? (вероятно се доказва с подобия).
2. Как може да сме сигурни, че освен точките от споменатата окръжност - няма други точки, за които е в сила тази зависимост?
3. Споменатата построителна задача известна ли е ( ако да - изпрати линк, за да не ти задавам излишни въпроси)?
4. Ако са дадени четири отсечки [tex]A_1B_1, A_2B_2, A_1'B_1', A_2'B_2'[/tex] как ще построиш точките X, за които:
[tex]\frac{C_1X}{C_2X}=\frac{A_1B_1}{A_1'B_1'}+\frac{A_2B_2}{A_2'B_2'}[/tex]?

[inveidar]

Ins, първите ти два въпроса са излишни. Това е известна задача. Не е там проблемът.

[ins-]

Значи първите ми 3 въпроса са излишни. Въпроса е, ако има "пукнатина" в решението да се разбере къде е и да се каже "да това е грешката", а ако няма е още по-добре - всичко ще е ок и задачата е коректно решена.

[drago]

Четвъртият ти въпрос не е съвсем излишен, но ще го оставя да си отговориш сам. Или да го оставим за накрая, ако все още го имаш.
Да, предполагам, че задачата е известна, много фундаментална е за да не е. Позната ми е, но трябва да съм я срещал доста отдавна. Аз се убедих, че е така, като се приложих косинусовата теорема за 2-та триъгълника, които имат за страни OX, O e центъра на споменатата окръжност. Колкото до това, че няма други точки- Инс, хайде не бъди толкова педантичен, че още не сме стигнали до никъде.
Продължаваме.

Построителна задача N 3
Дадени са: т. [tex]O[/tex], известна пропорция [tex]k_1[/tex], известен ъгъл [tex]\phi[/tex].
[tex]h_{k_1}[/tex] е хомотетия с Център О и коефициент [tex]k_1[/tex], [tex]\rho_{\phi}[/tex] ротация с център О и ъгъл [tex]\phi[/tex]. Дадена е също права [tex]l[/tex] и известен вектор [tex]\vec{c}[/tex].
Да се построи точка/точки [tex]X \in l[/tex], такава че:

[tex]|\vec{O h_{k_1} \rho_{\phi}(X)} + \vec{c}| = |\vec{OX}|[/tex].

Построение:
Забелязваме, че:
[tex]|\vec{O h_{k_1} \rho_{\phi}(X)} + \vec{c}| = |\vec{OX}|= |\vec{O \rho_{\phi}X}|[/tex].

1. Построяваме [tex]\rho_{\phi} l[/tex]
2. Прилагаме построителна задача 2, получаваме точка/точки X
3. Tърсената т. [tex]X^' = \rho^{-1}_{\phi}(X)[/tex].

Построителна задача N 3'
Дадена е права [tex]l[/tex], точка [tex]O[/tex], известни комплексни числа [tex]z_1,\, z_2,\, c[/tex].
Да се построи точка [tex]X\in l[/tex], така че за комплексното число [tex]x=\vec{OX}[/tex] да имаме:

[tex]|\frac{z_1}{z_2} x +c| = |x|[/tex].

Mалко пояснения. Считаме че началото на комплексната равнина съвпада с [tex]O[/tex]. Под известно комплексно число [tex]z[/tex] разбирам, че е начертано неговото геометрично представяне [tex]\vec{OZ}[/tex].

Построение: Прилагаме директно Построителна задача N 3.

Въпроси до тук?

[drago]

Вече сме на финалната права.
Един лек анализ.
Нека [tex]A_0B_0C_0D_0[/tex] е търсения четириъгълник.
Построяваме какъв да е четириъгълник [tex]ABCD[/tex] така че 4-те му ъгъла са съответно равни на ъглите на [tex]A_0B_0C_0D_0[/tex]. Нека [tex]O =AD \cap BC, \, DD_1 \parallel AB,\ D_1 \in BC[/tex]. Фиксираме точките [tex]O, C, D, D_1[/tex].

Това да построим [tex]A_0B_0C_0 D_0[/tex] е еквивалентно с това да намерим такива [tex]A\in OD,\, B\in OC, \, AB \parallel DD_1[/tex], така че [tex]\frac{DB}{CA} = \frac{D_0B_0}{C_0A_0}[/tex]. Този въпрос вече го коментирахме, така че продължавам нататък.

Нека означим [tex]t=\frac{OA}{OD}, \, t\in \mathbb{R},\, t > 1[/tex]. Намирането на точките [tex]A,\,B[/tex] е еквивалентно на намирането на [tex]t >1[/tex] (като някаква пропорция на известни/построими отсечки).

От тук нататък има малко смятане с комплексни числа.
Нека [tex]O[/tex] е центърът на комплексната равнина. Да въведем комплексните числа:[tex]a,b,c,d,d_1;\,\, a=\vec{OA},\, b=\vec{OB},\, c=\vec{OC},\,d=\vec{OD},\, d_1= \vec{OD_1}[/tex].
Имаме:

[tex]\vec{CA}=td-c,\, \vec{DB}=td_1 - d[/tex].

Да положим (1) [tex]u=td-c[/tex]

Когато [tex]t \in \mathbb{R}, t>1[/tex], [tex]u[/tex] описва един лъч [tex]l[/tex] върху права минаваща през [tex]C^'[/tex] (където [tex]C^'[/tex] лежи на [tex]OC[/tex] и [tex]O[/tex] е среда на [tex]CC^'[/tex]) и успоредна на [tex]OD[/tex].
Намирането на т.[tex]u[/tex] в/у този лъч е еквивалентно на намирането на [tex]t[/tex].

От (1)=> [tex]t= \frac{u+c}{d}\, \Rightarrow \, \vec{DB}=\frac{d_1}{d} u + \frac{cd_1}{d} - d[/tex].
Искаме:
[tex]\frac{DB}{AC}=\frac{D_0B_0}{A_0C_0}=k[/tex] , което е еквивалентно на това да намерим [tex]u \in l[/tex], което удовлетворява:

(2) [tex]|\frac{d_1}{k.d} u + \frac{cd_1}{kd} - \frac{d}{k}| = |u|[/tex].

Построение:

Tъй като [tex]kd[/tex] и [tex]\frac{cd_1}{kd} - \frac{d}{k}[/tex] са построими комплексни числа, прилагаме построителна задача N 3' , с помощта на която построяваме [tex]u \in l[/tex], ако такова съществува, след което построяваме и точките [tex]A,\, B[/tex]. За тях е изпълнено: [tex]\frac{DB}{CA} = \frac{D_0B_0}{C_0A_0}[/tex].
Сега правим една хомотетия с център [tex]O[/tex] и коефициент [tex]\frac{C_0A_0}{CA}[/tex].
Четириъгълника [tex]ABCD[/tex] отива в [tex]A^'B^'C^'D^'[/tex], за който вече [tex]A^'C^'=A_0C_0,\, B^'D^'=B_0D_0[/tex], както и съответните ъгли са равни.




-----------------------------------------------------------------
100 лв БОНУС. Най-високи коефициенти. Tempobet.com

[ins-]

Много благодаря за решението!

Чак сега влизам. За съжаление не знам комплексни числа, но най-вероятно решението е коректно. Мисля така поради простата причина, че поне няколко пъти си го изписал и не си намерил грешка. Хубаво е поне 1-2 души, които са запознати с тази материя да се изкажат. Друга причина да се зарадвам да го видя е това, че нямаше никакви шансове да стигна сам до него.

Какво стана с четвъртия ми въпрос? Защо тези точки винаги лежат на една окръжност и няма други точки с описаното свойство?

Ето и другата идея за решение разписана:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3#p2516493

Дано задачата да се е харесала на посетителите на форума и да е била полезна с нещо.

[drago]

Имам въпроси:
...
4. Ако са дадени четири отсечки [tex]A_1B_1, A_2B_2, A_1'B_1', A_2'B_2'[/tex] как ще построиш точките X, за които:
[tex]\frac{C_1X}{C_2X}=\frac{A_1B_1}{A_1'B_1'}+\frac{A_2B_2}{A_2'B_2'}[/tex]?

Toва беше 4-тия ти въпрос. Ще ти отговоря, макар че това реално не се използва, к винаги беше във вида k= AB/CD.
Преди това:
Построителна задача N 0
AB, CD, EF са дадени отсечки. Да се построи отсечка [tex]x= \frac{AB.CD}{EF}[/tex].
Построението е илюстрация на теоремата на Талес.

Сега въпросът е да се построи отсечка (1) [tex]x=\frac{a}{1+k}[/tex], където к е вив вида:
[tex](2) k=\frac{A_1B_1}{A_1'B_1'}+\frac{A_2B_2}{A_2'B_2'}[/tex]
Умножаваме числителя и знаменателя на (1) с [tex]a[/tex] и после неколкократно прилагаме построителна задача N 0.

Интересно е че нямаше въпроси по Построителна задача N 2, а според мен тя е едно хубаво построение, като се използва постр. задача 1.

Препратката по-горе:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &#p2516493
не е идея за решение, това е самото решение. Много по-кратко от моето и без толкова сметки.
Все пак ако погледнем малко по-философски. Единственото, което се използва в решението, което предлагам, е транслация и комбинация от ротация и хомотетия. Само че има сметки за да се види как. Така е и в другото решение, но без толкова сметки.
Между другото т. H, центъра на комбинацията от хомотетия/ротация там се намира , като се използва построителна задача N 1 !


Поздрави:
Драго.

[ins-]

Благодаря отново за положените усилия!

Скрит текст: покажи

Малко хора имат капацитета да решат подобна задача.

Нямах въпроси по построителна задача 2, за да не се разгръща прекалено много темата.

"Между другото т. H, центъра на комбинацията от хомотетия/ротация там се намира , като се използва построителна задача N 1 !" - ако не ти представлява трудност - може ли да опишеш как става? Човърка ме отвътре и няма да мога да заспя, докато не го разбера.

--
Боби

[drago]

За да отиде едната окръжност да отиде в другата трябва: [tex]\frac{HO_1}{HO_2} = \frac{R_1}{R_2}[/tex]...
А това за капацитета вземи го махни!
както казваше Тошко Колев: Подставени лица поднасят цветя... ха-ха-ха

[ins-]

За окръжностите - добре, но как едната дъга ще се трансформира в другата след като са с различни градусни мерки?!
"махнах" го ще се опитам да осмисля трансформацията. Ако имам въпроси пак ще питам. То стана не тема, а роман

[drago]

За окръжностите - добре, но как едната дъга ще се трансформира в другата след като са с различни градусни мерки?!
"махнах" го ще се опитам да осмисля трансформацията. Ако имам въпроси пак ще питам. То стана не тема, а роман

Aми не се трансформира едната дъга в другата. Едната окръжност се трансформира в другата. Дъгите /в общия случай с различни мярки/ няма как, някаква част от едната дъга ще отиде в другата
Направо не роман, ами турски сериал стана

[ins-]

H is homotety/rotation center wich translate (ACE) to (ABC) - искаш да ми кажеш, че това означава, че преобразованието трансформира описаната около триъгълник ACE окръжност в описаната около ABC окръжност. Така ли? (Помислил съм, че се касае за трансформацията на дъгата ACE в дъгата ABC, което както ти сам каза е невъзможно.)
Ако е това - ето откъде идва цялото ми объркване.

[inveidar]

Образова се човек, а окръжността се преобразува!

[ins-]

един се образова, друг се заяжда ... важното е да се разбере решението.