ОЛИМПИАДА НА САЙТА 10-12+ КЛАС - II КРЪГ!!!

[b1ck0]

В предния кръг имаше една лесна ( 2-ра задача ), сложете сега и още една, че да има смисъл да участвам и аз

[martin123456]

estoqnov имаш покъртителна снимка...

[estoyanovvd]

Коя от двете?

[martin123456]

аватарът ти

[estoyanovvd]

Аха, щото преди ми беше друг! Оная беше още по-покъртителна, но ти сигурно не си бил на линия.

[martin123456]

нямаш ли други?

[allier]

Добре, ins, прати ми няколко задачи утре през деня, ако можеш. В 20:00 ще пусна темата.

[ins-]

Задачите са пуснати, малко повечко са, но нека да има материал, ако имаш въпроси по някои - питай. Сложността варира в широк диапазон.

[martin123456]

даже ако ги пуснете по-рано днес през деня ще е яко, за да мога да ги решавам днес, че не съм в офиса

[Тедка]

Благодаря предварително.

[ammornil]

Моля публикувайте нови питания в съответния раздел. Това не е задача за състезния.

За кой клас е тази задача?

[Гост]

[tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+x-y=y^2 \Leftrightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P} \cap p|d=(x-y, 2x+2y+1)[/tex]=>[tex]p|y[/tex]=>[tex]p|x[/tex]=>[tex]p|1[/tex]=>[tex]d=1[/tex]=>[tex]x-y[/tex] и [tex]2x=2y+1[/tex] са квадрати. оттук следва че за всяко [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието [tex]x-y[/tex] и [tex]2x+2y+1[/tex] са квадрти.
Тъй като [tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3x^2-x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3(x+y)(x-y)+(x-y)=x^2 \Leftrightarrow (x-y)(3x+3y+1)=x^2[/tex] по аналогичен начин следва че [tex]3x+3y+1[/tex] е квадрат за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието.

Знам че е малко странно да задавам каквито и да е въпроси, при положение, че темата е на над 15 години, но как може да се докаже, че освен k=2 и k=3 няма други решения?

[peyo]

[tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 2(x^2-y^2)+x-y=y^2 \Leftrightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P} \cap p|d=(x-y, 2x+2y+1)[/tex]=>[tex]p|y[/tex]=>[tex]p|x[/tex]=>[tex]p|1[/tex]=>[tex]d=1[/tex]=>[tex]x-y[/tex] и [tex]2x=2y+1[/tex] са квадрати. оттук следва че за всяко [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието [tex]x-y[/tex] и [tex]2x+2y+1[/tex] са квадрти.
Тъй като [tex]2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3x^2-x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow 3(x+y)(x-y)+(x-y)=x^2 \Leftrightarrow (x-y)(3x+3y+1)=x^2[/tex] по аналогичен начин следва че [tex]3x+3y+1[/tex] е квадрат за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяващи условието.

Знам че е малко странно да задавам каквито и да е въпроси, при положение, че темата е на над 15 години, но как може да се докаже, че освен k=2 и k=3 няма други решения?

15 години не са проблем. Липсващото условие - да.

[Гост]

Първото мнение в темата, 5-та задача.