Равностранен триъгълник и перпендикуляри

[ins-]

Ето и една весела задачка - известен резултат е, но ми е интересно как се доказва.

[ubuntu]

Ако не ме лъже паметта това свойство има обобщение и за произволен триъгълник
Например виж какво става ако си вземеш коя и да е точка от OI и спуснеш пенпендикуляри към страните, тогава очевидно сбора на едни от 3те отсечки , където си ги написал, е равен на полупериметъра.Тука О е център на описаната,a I на вписаната окръжност.Бях написал и някои други неща , но не съм сигурен , че бяха верни

[ins-]

Сигурно изглежда смешно, но наистина не мога да се сетя как се доказва, че сбора на 3 от отсечките е равен на полупериметъра (на картинката P е произволна точка).
Лесно се доказва, че сборовете от квадратите на споменатите отсечки, но за самите сборове ... няма никой

[Baronov]

[tex]0 = q^2-a^2 + s^2-c^2 + r^2 - b^2 = (q-a)(q+a) + (s-c)(s+c) + (r-b)(r+b) => q-a + s-c + r-b =0[/tex], където използваме, че
[tex]q+a=s+c=r+b[/tex] - страната на триъгълника.

[ins-]

Браво! А аз съм много тъп

[Kiro]

А как се доказва за квадратите ?

[ganka simeonova]

А как се доказва за квадратите ?

Мисля, че това е теорема на Карно
Свържи точката Р с върховете на триъгълника.
Прикожи питагорови теореми за шестте правоъгълни триъгълника и ще се получи.

[martosss]

хах, това с квадратите е интересно, наистина се получава бързо, а резултатът е интересен. Браво за хубавата задача!