Височини и равни ъгли

[Гост]

В остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] с [tex]A_1, B_1, C_1[/tex] са означени петите на височините, съответно, през върховете [tex]A, B, C[/tex]. През [tex]A_1[/tex] и [tex]B_1[/tex] са построени прави, перпендикулярни на [tex]AB[/tex], които пресичат, съответно, [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] в точки [tex]B_2[/tex] и [tex]A_2[/tex]. Да се докаже, че [tex]\angle AC_1B_2 = \angle BC_1A_2[/tex].

[martin123456]

Както е известно, [tex]\angle B_1C_1C=\angle A_1C_1C=90^{\circ}-\gamma[/tex].
От [tex]B_1B_2||CC_1\Rightarrow \angle B_2B_1C_1=90^{\circ}-\gamma[/tex]. Аналогично, [tex]\angle C_1A_1A_2=90^{\circ}-\gamma[/tex] и значи [tex]\angle B_2B_1C_1=\angle A_2A_1C_1=90^{\circ}-\gamma[/tex].
Искаме да покажем, че [tex]\Delta B_2B_1C_1 \sim \Delta A_2A_1C_1[/tex], откъдето ще следва твърдението.
За целта ще докажем, че [tex]\frac{B_2B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2A_1}{C_1A_1}[/tex].
Както е известно, [tex]\Delta AC_1B_1 \sim \Delta ACB \Rightarrow B_1C_1=a\cos{\alpha}[/tex] и аналогично [tex]C_1A_1=b\cos{\beta}[/tex] и значи [tex]\frac{B_1C_1}{C_1A_1}=\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{2\beta}}[/tex]. Остава да докажем, че [tex]\frac{B_2B_1}{A_2A_1}=\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{2\beta}}[/tex].
Отново от успоредността имаме [tex]\Delta AB_2B_2 \sim \Delta AHC \Rightarrow \frac{B_1B_2}{CH}=\frac{AB_1}{AC}[/tex], аналогично [tex]\frac{A_1A_2}{CH}=\frac{A_1B}{CB}[/tex]. Следователно [tex]\frac{B_1B2}{A_1A_2}=\frac{AB_1}{A_1B}.\frac{CB}{AC}=\frac{AB_1/a}{A_1B/a}.\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{2\beta}}[/tex].

[Гост]

Благодаря за решението. Кратко и ясно е. Задачата би могла да се реши без тригонометрия. Но както и да се решава - всяко от решенията си има красота.