Вписан четириъгълник

[inveidar]

tri.png (34.62 KiB) Прегледано 454 пъти

Нека [tex]ABCD[/tex] е произволен изпъкнал четириъгълник и правите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] се пресичат в точка [tex]K[/tex]. Ако описаните около триъгълниците [tex]ACK[/tex] и [tex]BDK[/tex] окръжности се пресичат в точка [tex]T[/tex], а [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно средите на страните [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex], докажете, че четириъгълникът [tex]TNKM[/tex] е вписан в окръжност.(Собствена задачка, лесна и може би известна? Дано Ins да не я е вече (пре)открил! )

[ganka simeonova]

[tex]\angle DKB=\frac{1}{2 } \widehat{DTB}; \angle AKC=\frac{1}{ 2}\widehat{ATC}=>\angle DTB=\angle ATC=>[/tex]

[tex]=>\angle ATD=\angle CTB[/tex] (1); BKDT-вписан в окр=>[tex]\angle ADT=\angle TBK[/tex](2).
Тогава от (1) и (2) имаме подобните тр-ци :[tex]\Delta ATD; \Delta CTB=>\Delta DMT; \Delta BNT[/tex] също са подобни=>

[tex]\angle DMT=\angle TNB=>\angle DMT+\angle TNC=180^\circ =>MTNK[/tex]-вписан ч-к.

[ins-]

Мисля, че не съм я (пре)откривал и да съм - не помня. Браво за решението и задачата.