AE=BF

[ganka simeonova]

3.През средата М на хордата АВ е построена хордата CD. Допирателните към окръжността в точките C и D пресичат правата АВ в т. Е и F. Да се докаже, че АЕ=BF.

[Гост1]

Нека центърът на окръжността е O. [tex]\angle EMO=\angle ECO=\angle FMO=\angle FDO=90^\circ[/tex], следователно EMOC и FOMD са вписани четириъгълници. Понеже FOMD е вписан [tex]\angle OFD=\angle OMC[/tex] и понеже EMOC е вписан [tex]\angle OMC=\angle CEO[/tex]. Така [tex]\angle OFD=\angle CEO[/tex]. Също така OD=OC (радиуси) и [tex]\angle FDO = \angle OCE=90^\circ[/tex]. Така [tex]\Delta OCE \equiv \Delta FOD[/tex]. Оттук EO=FO и понеже [tex]OM\bot EF[/tex], то EM=MF. Но AM=BM. Следователно AE=BF.

[Xixibg]

Нека центърът на окръжността е O. [tex]\angle EMO=\angle ECO=\angle FMO=\angle FDO=90^\circ[/tex], следователно EMOC и FOMD са вписани четириъгълници. Понеже FOMD е вписан [tex]\angle OFD=\angle OMC[/tex] и понеже EMOC е вписан [tex]\angle OMC=\angle CEO[/tex]. Така [tex]\angle OFD=\angle CEO[/tex]. Също така OD=OC (радиуси) и [tex]\angle FDO = \angle OCE=90^\circ[/tex]. Така [tex]\Delta OCE \equiv \Delta FOD[/tex]. Оттук EO=FO и понеже [tex]OM\bot EF[/tex], то EM=MF. Но AM=BM. Следователно AE=BF.

От къде получи това:[tex]\angle OFD=\angle OMC[/tex]?
То че е така,така е ,но не си го написал подробно........Не следва от това което си писал...има още 1 ред междинно

[Гост1]

FOMD е вписан. Това е напълно достатъчно за твърдението. Това е иначе казано свойството, че във всеки вписан четириъгълник всеки ъгъл е равен на външния на срещуположния.

[Xixibg]

Така е ,но трябва да се напише
Нещо от вида [tex]\angle OMC=180^\circ -\angle OMD[/tex] като съседни [tex]=>\angle OMC=\angle OFD(OFDM[/tex] е вписан в окръжност)
Или пък:[tex]CEMO , OFDM[/tex] са вписани в окръжности с равни радиуси , следователно дъгите [tex]CO , OD[/tex] са равни [tex]=>\angle OMC=\angle OFD[/tex]
Иначе решението е добро.

[Гост1]

Принципно си прав, но все пак това е олимпиаден форум и се предполага, че хората, който го четат, няма да имат проблем с разбирането на решението.

[Гост]

Така не излиза ли,че всяка хорда минаваща през средата на друга хорда се разполовява от пресечната точка? Много странно!Това би трябвало да следва от подобието на OCD и ODF,където O е средата на AB.

[Гост]

Всъщност имах предвид не О,ами М (забравих,че тя е дадена).

[Гост]

ГЛупости съм писал! не гледайте миналите 2 коментара :p

[ganka simeonova]

Принципно си прав, но все пак това е олимпиаден форум и се предполага, че хората, който го четат, няма да имат проблем с разбирането на решението.

И аз мисля така:)