S(CEF):S(CAB)

[ganka simeonova]

ABC e правоъгълен. О1 и О2 са центровете на вписаните в АМС и ВМС окръжности (М- среда на АВ). Ако правата О1О2 пресича АС и ВС в E и F, намерете [tex]\frac{S_{CEF}}{C_{CAB} }[/tex]

[inveidar]

С подходящо успоредно проектиране върху равнина триъгълникът АВС може да проектираме в равнобедрен правоъгълен. Отношението за равнобедрен правоъгълен е една втора. При успоредно проектиране отношенията на лицата се запазват.

[inveidar]

Друго решение.

lice.png (20.66 KiB) Прегледано 1791 пъти

Ще докажем, че лицето на жълтеникавия триъгълник е равно на сбора от лицата на зеления и синия.
Означаваме лицето на зеления с y, на синия със z и на жълтия с x. Тогава [tex]\frac{y}{x}=\frac{r_{2}^{2}}{ MO_{2}^{2}}[/tex],
[tex]\frac{z}{x}=\frac{r_{1}^{2}}{ MO_{1}^{2}}[/tex](Подобни триъгълници и [tex]O_{2}T=r_{2},O_{1}H=r_{1}[/tex]) и [tex]\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=\frac{r_{2}^{2}}{ MO_{2}^{2}}+\frac{r_{1}^{2}}{ MO_{1}^{2}}[/tex].
От друга страна [tex]\frac{r_{1}}{MO_{1} }=cos \alpha[/tex],а [tex]\frac{r_{2}}{MO_{2} }=sin \alpha[/tex].
Повдигаме на квадрат последните две равенства и ги събираме. Получаваме [tex]\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1 \Leftrightarrow y+z=x[/tex].
Остава да съобразим, че лицето на MHCT е половината от лицето на АВС.

[ganka simeonova]

Готино решение:) Това са серия задачки, които имам от r2d2