сбор на квадрати

[jivko7]

някой може ли да ми каже как ще се докаже формулата за сбора на квадратите на първите n числа?

[Гост]

С индукция по n.

[mail_dinko]

[tex]Suma=\frac {n(1+n)}{2}[/tex]

[Xixibg]

[tex]Suma=\frac {n(1+n)}{2}[/tex]

Не е тази.Това е формулата за сбор на първите [tex]n[/tex] числа.
Формулата за сборът на квадратите е :[tex]\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

[someone]

Използва се един доста изкуствен трик, който, ако не ти е известен, е трудно да измислиш.
Разписваш кубовете на числата от [tex]2[/tex] до [tex]n+1[/tex] по следния начин:
[tex]2 ^ 3 = (1 + 1)^3 = 1^3 + 3.1^2.1 + 3.1.1^2 + 1^2 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1[/tex]
[tex]3 ^ 3 = (2 + 1)^3 = 2^3 + 3.2^2.1 + 3.2.1^2 + 1^2 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1[/tex]
[tex]4 ^ 3 = (3 + 1)^3 = 3^3 + 3.2^2.1 + 3.3.1^2 + 1^2 = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1[/tex]
...
[tex](n+1)^3 = n^3 + 3.n^2.1 + 3.n.1^2 + 1^2 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1[/tex]
Събираш тези [tex]n[/tex] равества почленно и получаваш следното:
[tex]2^3 + 3^3 + ... + (n + 1)^3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + ... + n ^ 3 + 3.(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 3 . (1 + 2 + ... + n) + n.1[/tex]
Сборът [tex]2^3 + 3 ^ 3 + ... + n^3[/tex] се унищожава:
[tex](n + 1) ^ 3 = 1 ^3 + 3(1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n^2) + 3 . (1 + 2 + ... + n) + n[/tex]
[tex]n^3 + 3n^2 + 2n = 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 3.\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Сега остава просто да изразиш сбора [tex]1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2[/tex] от това равенство и си готов.
(
За по-лесно си го означи с [tex]X[/tex]:
[tex]2n^3 + 6n^2 + 4n = 6X + 3n^2 + 3n[/tex]
[tex]2n^3 + 3n^2 + n = 6X[/tex]
[tex]n(2n^2 + 3n + 1) = 6X[/tex]
[tex]n(2n+1)(n+1) = 6X[/tex]
[tex]X = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}[/tex]
)
Няколко думи по задачата: известна е в историята на математиката като задача на Архимед. Хубавото е, че служи за откриване на формулата. Разбира се, че тя може да бъде доказана с индукция, но ако я знаем предварително. А този метод ни дава възможност да я открием. Предполагам е ясно, че по аналогичен начин може да се намери формула за сбора [tex]1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k[/tex] за произволно естествено [tex]k[/tex], но за целта трябва да бъде пресметнат сбора за всяко естествено [tex]k' < k[/tex], тъй като всички тези сборове участват в намирането на търсения.

[mkmarinov]

Като сме тръгнали да казваме различни начини...
Ако [tex]a_n[/tex] е редица с общ член полином от степен [tex]k[/tex], то [tex]a_n-a_{n-1}[/tex] е полином от степен [tex]k-1[/tex].
Ако поразместим малко, получаваме, че ако [tex]a_n[/tex] е редица с общ член полином от степен [tex]k[/tex], то [tex]S_n=\sum_0^n a_n[/tex] е редица, чийто общ член е полином от степен [tex]k+1[/tex]. Знаем, че [tex]k+2[/tex] точки ни определят еднозначно полином от степен [tex]k+1[/tex] - намираме толкова стойности и остава да се реши линейна система уравнения.
Като, разбира се, не може да се каже, че този метод е удобен за големи числа.

[mail_dinko]

Извинявам се, пиша пак простоти като не чета изцяло ами бързам, така става, помислих си, че пише сбора на числата, "квадратите" съм ги изпуснал