Целочислен триъгълник

[Гост1]

Да се намерят всички триъгълници, чиито страни са цели числа, а радиусите на вписаната и описаната им окръжност са прости числа.

[Xixibg]

Единствено триъгълник със страни 6,8,10

[Xixibg]

[tex]S=p.r=\frac{(a+b+c).r}{2}; =>2S=(a+b+c).r[/tex] е цяло число
[tex]S=\frac{a.b.c}{4R} ; =>2S=\frac{a.b.c}{2R}-R[/tex] е просто по условие следователно някое от числата [tex]a,b,c[/tex] се дели на [tex]R[/tex].
Нека [tex]c[/tex] се дели на [tex]R[/tex].Тъй като най-голямата хорда в една окръжност е диаметъра то имаме 2 случая
1-ви случай:[tex]c=R[/tex] следва от една страна [tex]S=\frac{a.b}{4}[/tex] от друга [tex]S=\frac{(a+b+c).r}{2}[/tex].От тези две равенства получаваме:[tex]2(a+b+c).r=a.b[/tex] и тъй като [tex]r[/tex] е просто то следва ,че някоя от страните [tex]a[/tex] или [tex]b[/tex] се дели на [tex]r[/tex].За Ъглите имаме [tex]\gamma =30^\circ ;\alpha >\gamma ;\beta >\gamma[/tex] и от неравенствата в триъгълника следва [tex]a>c ; b>c ; =>r>R[/tex] което е противоречие.
2-ри случай :[tex]c=2R ; =>\gamma =90^\circ[/tex]

Това е лесната част от задачата ,в която доказахме ,че ако съществува триъгълник то той е правоъгълен.

При правоъгълен триъгълник имаме :[tex]R=\frac{c}{2} ; r=p-c=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
Разглеждаме Питагоровите тройки.Нека [tex]a=2.k.m.n ; b=k(m^2-n^2) ; c=k(m^2+n^2)[/tex].Тук отново имаме 2 случая:(k-четно и k- нечетно )
1-ви случай: [tex]k=2l ; =>r=l(2m.n+m^2-n^2-m^2-n^2)=2.l.n(m-n)[/tex] , но [tex]r[/tex] е просто [tex]=>l=1,n=1 ; m-n=1 ; =>m=2[/tex].Сега като заместим получаваме :[tex]a=8 ; b=6 ; c=10 ; R=5 ; r=2[/tex]
2-ри случай :[tex]k=2l+1 ; =>r=\frac{(2l+1)(2m.n+m^2-n^2-m^2-n^2)}{2}=(2l+1)n(m-n) ; R=\frac{c}{2}=\frac{(2l+1)(m^2+n^2)}{2},R\in Z =>m,n[/tex] са с еднаква четност
[tex]r[/tex] е просто [tex]=>[/tex]
а)[tex]m-n=1[/tex] противоречие на условието за еднаква четност
б)[tex]n=1,2l+1=1 , m-n[/tex] просто [tex]=>m=3[/tex].Сега като заместим получаваме :[tex]a=6 ; b=8 ; c=10 ; R=5 ; r=2[/tex]