Брой естествени решения на уравнение - и вариации

[mkmarinov]

Нека [tex](x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{N}^4[/tex] (приемаме, че [tex]0 \in \mathbb{N}[/tex])
1) Да се намери броят на наредените четворки, удовлетворяващи
[tex]x_1+x_2+x_3+x_4=75[/tex]

2) Да се намери броят на наредените четворки, удовлетворяващи
[tex]x_1+x_2+x_3+x_4=75[/tex]
при ограничението [tex]x_1 > 5[/tex]

3) Да се намери броят на наредените четворки, удовлетворяващи
[tex]x_1+x_2+x_3+x_4=75[/tex]
при ограничението [tex]x_2 < 8[/tex]

4) нека [tex](x_1, x_2, \dots, x_k) \in \mathbb{N}^k[/tex]. Да се намери броят на решенията на
[tex]x_1+x_2+\dots + x_k = m[/tex]; като [tex]m \in \mathbb{N}[/tex] е фиксирано число

5) Да се намери броят на решенията на
[tex]x_1+x_2+\dots + x_k = m[/tex]
при ограниченията [tex]x_i < r[/tex] за [tex]1 \le i \le k[/tex] и някое фиксирано естествено число [tex]r[/tex].

6) Да се намери броят на решенията на [tex]x_1+x_2+\dots + x_k = m[/tex] при ограниченията [tex]x_1 < r, x_2 > r, x_3 < r, \dots[/tex] за някое фиксирано естествено число [tex]r[/tex].