Теория на числата

[Гост]

1.Докажете,че всички биномни коефициенти n над s са нечетни тогава и само тогава,когато n има вида n=2^k-1
2.Докажете,че не съществува полином f(x) с цели коефициенти,за които числото f(n) да е просто за всяко естествено n.
По първата предполагам трябва да се използва онази теорема или свойство на финкцията [x],с която намираме най-високата степен на простото число p,участваща в n!. Като в случая p=2.Ама нещо не мога да я докарам

[Гост]

1.Докажете,че всички биномни коефициенти n над s са нечетни тогава и само тогава,когато n има вида n=2^k-1

Tова е необходимо условие, но не е достатъчно- виж теорема на Люка, Luka's theorem.

[mkmarinov]

По втората задача,
Нека предположим, че съществува такъв полином и нека свободният му член е [tex]b[/tex].
1) Нека b=0: [tex]f(x)=x \sum_1^n a_ix^{i-1}[/tex], което е очевидно съставно за поне едно х.
2) Нека [tex]b \in \mathbb{Z}\backslash \{ 0 \}, |b| \ne 1[/tex]
Ако заместим [tex]x=k|b|, k \in \mathbb{N}[/tex], получаваме [tex]f(k|b|)=\sum_1^n a_i k^i|b|^i + b=(\sum_1^n a_i k^i |b|^{i-1}+1)b[/tex], което не може да е просто за всяко естествено k при [tex]|b| \ne 1[/tex].
3) Нека [tex]|b|=1[/tex]: тогава [tex]f(0)=\pm 1 \notin \mathbb{P}[/tex]

[Гост]

"за всяко естествено n"

[mkmarinov]

Ако приемем, че нулата не е естествено число, вземаме функция [tex]g: \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \to \mathbb{P}[/tex] такава, че [tex]g(x-1)=f(x)[/tex], която е отново полином и трябва да приема прости стойности за всички естествени числа (вкл. нулата) и прилагаме горните разсъждения... Щом толкова пречи тази нула .