ПМТ 2004

[mousehack]

Нека I е центърът на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност,а М е средата на АВ.Ако CI=MI,да се намери възможно най-малката мярка на [tex]\angle CIM[/tex]

[martin123456]

[tex]CI=IM[/tex], [tex]AI[/tex] ъглопол => радиусите на описаните около AIC, AIM са равни. аналогично за тези около CIB, IMB триъгълници. оттам следва че [tex]\angle ACI = \{\pi -} \angle AMI[/tex] и [tex]\angle BMI = \{\pi - \}\angle ICB[/tex], където в накъдрени скоби е означено опционално. тъй като [tex]\angle AMI +\angle IMB = \pi[/tex] точно 1 от горните опции не е възможна.
считаме че [tex]\angle ACI = \angle AMI[/tex].
тогава [tex]\Delta AIC[/tex] еднакъв с [tex]\Delta AIM[/tex]. значи [tex]AM=b[/tex], [tex]AB=2b[/tex]. около [tex]IM BC[/tex] има окръжност. търсим min на [tex]\pi - \beta[/tex], т.е. max [tex]\beta[/tex], т.е. min [tex]\cos{\beta}[/tex] (лесно се вужда че [tex]\beta[/tex] е остър). пишем една косинусова т-ма за [tex]\Delta CAB[/tex]=>[tex]\cos{\beta}=\frac{3b^2+a^2}{4ab} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
оства да док че при [tex]\beta = 30[/tex] задачата е възможна

[mousehack]

Добре,ама тази задача е от темата за 9 клас.Има ли начин без тригонометрия.

[martin123456]

не зная
темите на са ли 9-12 клас заедно

[mousehack]

НЕ.

[martin123456]

[tex]IM^2=r^2+(\frac{a-b}{2})^2[/tex]
[tex]IC^2=r^2+(\frac{a+b-c}{2})^2[/tex]
вадим [tex](2b-a)(2a-c)=0[/tex].
нека [tex]b<a[/tex]=>от нер на триъгълника [tex]c<a+b<2a[/tex]=>[tex]c=2b[/tex]
наттак става нещо друго, кеото не измислям сега

[mousehack]

А ще може ли някой,който има книжката със задачата да сканира авторовото решение.