Щайнер и Четириъгълник

[Гост]

Да се докаже,че [tex]a.c+b.d \ge d_1 .d_2[/tex] Това твърдение е известно,но ако може и доказателство
Да се докаже обратната теорема на Щайнер,ако в четириъгълник пресечната точка на продълженията на бедрата,пресечната точка на диагоналтие и среда на основата лежат на 1 права,то четириъгълникът е трапец.Не знам дали е необходимо и 2те среди да лежат на 1 права или е достатъчно,ако е казано само за 1.Благодаря,предварително.

[alexander_ivanov]

за втората можеш да използваш принципа на съответствие на хомотетията и ще док. че триъгълника съставен от върхове т. на горната основа и прес. т. на диаг. и триъгълника съставен от от върхове т. на долната основа и прес т. на диаг. са подобни и от там ти излиза, че горната основа е успоредна на долната => фиг. е трапец

[Гост]

Може ли да го опишеш? Аз си измислих едно друго решение,но би ли дал и твоето с хомотетията?

[alexander_ivanov]

[tex]AD\cap BC=O, OM_1M_2[/tex] една права; разгл. [tex]AOB[/tex]и [tex]DOC[/tex] ако съществува хомотетия [tex]h: h(AOB)=DOC[/tex], то [tex]h(O)=O[/tex], т.е О е център на хомотетията и следствие от хомотетияата би било, че [tex]h(OM_2)=OM_1[/tex] и от това следствие излиза че [tex]OM_1M_2[/tex] е една права=> за да може хомотетията да съществува трябва следните условия да са изпълнени (едновременно) :
[tex]1)ADO[/tex] една права
[tex]2)BCO[/tex] една права
[tex]3)OM_1M_2[/tex] една права
тъй като всички тези условия са изпълнение можем да заключим, че съществъва такава хомотетия h => от принципа на съответсвие можем да заключим че отсечките [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] са успоредни => фигурата е трапец