Алгебрично неравенство

[Гост]

Нека [tex]a_{2},...,a_{n}, n\ge3[/tex] са положителни числа, такива че [tex]a_{2}...a_{n}=\frac{1}{ n^{2n-1}[/tex]. Докажете, че [tex](a_{2}+2)^{2}(a_{3}+3)^{3}...(a_{n}+n)^{n}>2^{1}3^{2}...(n-1)^{n-2}[/tex]

[Гост1]

Доста прилича на задачата от МОМ

Скрит текст: покажи

От СА-СГ [tex]\left(a_t+t\right)^t =\left(a_t+\frac{t}{t-1}+\cdots+\frac{t}{t-1}\right)^t\ge t^t\frac{t^{t-1}a_t}{\left(t-1\right)^{t-1}}=\frac{t^{2t-1}a_t}{\left(t-1\right)^{t-1}}[/tex] за [tex]t\in\{2,\ldots,n\}[/tex]. Така имаме [tex]\prod \left(a_i+i\right)^i\ge \prod_{i=2}^{n-1} \frac{i^{2i-1}}{\left(i-1\right)^{i-1}}\cdot\prod_{i=2}^{n} a_i\cdot\frac{n^{2n-1}}{\left(n-1\right)^{n-1}}[/tex]. Знаем, че [tex]\prod_{i=2}^{n} a_i\cdot n^{2n-1}=1[/tex] и така остава да докажем [tex]\frac{1}{\left(n-1\right)^{n-1}}\prod_{i=2}^{n-1} \frac{i^{2i-1}}{\left(i-1\right)^{i-1}}\ge 2^1\cdot 3^2\cdots \left(n-1\right)^{n-2}[/tex]. Но двете страни на последното неравенство са равни (просто забелязваме, че [tex]\frac{i^{2i-1}}{i^i}=i^{i-1}[/tex] за [tex]i\in \{2,\ldots,n-2\}[/tex] и [tex]\frac{n^{2\left(n-1\right)-1}}{\left(n-1\right)^{n-1}}=\left(n-1\right)^{n-2}[/tex]). Равентво при [tex]a_r=\frac{r}{r-1}[/tex], което би означавало [tex]n=\prod a_i=\frac{1}{n^{2n-1}}[/tex] - абсурд. Следователно неравенството е строго.

.

[kucheto]

Доста прилича на задачата от МОМ

Скрит текст: покажи

От СА-СГ [tex]\left(a_t+t\right)^t =\left(a_t+\frac{t}{t-1}+\cdots+\frac{t}{t-1}\right)^t\ge t^t\frac{t^{t-1}a_t}{\left(t-1\right)^{t-1}}=\frac{t^{2t-1}a_t}{\left(t-1\right)^{t-1}}[/tex] за [tex]t\in\{2,\ldots,n\}[/tex]. Така имаме [tex]\prod \left(a_i+i\right)^i\ge \prod_{i=2}^{n-1} \frac{i^{2i-1}}{\left(i-1\right)^{i-1}}\cdot\prod_{i=2}^{n} a_i\cdot\frac{n^{2n-1}}{\left(n-1\right)^{n-1}}[/tex]. Знаем, че [tex]\prod_{i=2}^{n} a_i\cdot n^{2n-1}=1[/tex] и така остава да докажем [tex]\frac{1}{\left(n-1\right)^{n-1}}\prod_{i=2}^{n-1} \frac{i^{2i-1}}{\left(i-1\right)^{i-1}}\ge 2^1\cdot 3^2\cdots \left(n-1\right)^{n-2}[/tex]. Но двете страни на последното неравенство са равни (просто забелязваме, че [tex]\frac{i^{2i-1}}{i^i}=i^{i-1}[/tex] за [tex]i\in \{2,\ldots,n-2\}[/tex] и [tex]\frac{n^{2\left(n-1\right)-1}}{\left(n-1\right)^{n-1}}=\left(n-1\right)^{n-2}[/tex]). Равентво при [tex]a_r=\frac{r}{r-1}[/tex], което би означавало [tex]n=\prod a_i=\frac{1}{n^{2n-1}}[/tex] - абсурд. Следователно неравенството е строго.

.

И на мен това ми беше първата мисъл, когато видях задачата, даже бързо я реших наум по същия начин като теб. Само дето тази задача е много по-глупава и безсмислена от МОМ 2012.2. Обобщението е много слабо, а половината условие е ненужно. Просто можем да заместим всеки един от членовете [tex](a_k+k)^k[/tex] с [tex]k^k[/tex], да използваме, че [tex]k^k>(k-1)^{k-2}[/tex], умножаваме почленно от [tex]k=2[/tex] до [tex]k=n[/tex] и сме готови. Очевидно е, че задачата, която се е получила, е слаба и грозна имитация на оригинала.

[Гост]

Хах! Гледам го това решение и се раздвоявам. Едната половина казва: "очевидно е вярно!", а другата "не мога да проумея как може решението да просто това?". И аз без да мисля... я реших със същата идея на тая от МОМ. Имай предвид, че автора (най-вероятно човекът, който я е публикувал) е създал задачата използвайки за база решението на известната задача. Би се получила добра задача, ако решението не беше толкова тривиално (или точно тази "тривиалност" прави решението по-трудно за намиране ). Вероятно авторът също не се е усетил, че е достигнал до тривиален факт.

[N.Stavrev]

Тази случка е нормална за алгебричните неравенства, но разбира се трябва да внимаваш на 100% какво постваш