Ортоцентър, център на вписаната и описаната окр.

[N.Stavrev]

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] , точките [tex]I,O[/tex] са съответно център на вписаната и на описаната в триъгълника окръжност, като [tex]IO||AB[/tex], точка [tex]H[/tex]е ортоцентър, ако [tex]r[/tex] и [tex]R[/tex]са съответно радиусите на тези окръжности , то намерете [tex]AH[/tex]и [tex]BH[/tex]

[kucheto]

От теоремата на Карно: [tex]cos\alpha+cos\beta+cos\gamma=1+\frac{r}{R}.[/tex] Но според условието: [tex]r=d(O,AB)=Rcos\gamma\Rightarrow cos\alpha+cos\beta=1,\ cos\gamma=\frac{r}{R}.[/tex] Също така: [tex]cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma+2cos\alpha cos\beta cos\gamma=1.[/tex] Решавайки получената симетрична система (мързи ме да пиша решението, но то е лесно, тъй като едното уравнение е от първа, а другото от втора степен), получаваме: [tex]cos\alpha,cos\beta=\frac{1}{2}(1\pm \sqrt{\frac{(R-2r)(R+r)}{R(R-r)}}).[/tex] Знаем също, че [tex]AH=2Rcos\alpha,\ BH=2Rcos\beta,[/tex] откъдето получаваме крайния отговор: [tex]AH,BH=R\pm \sqrt{\frac{R(R-2r)(R+r)}{(R-r)}}.[/tex]