Лесна и приятна

[Гост]

Нека [tex]a,b,c,d[/tex] са реални числа, за които:

[tex]a+b+c+d=0[/tex]

[tex]abcd=1[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=2[/tex]

Да се пресметне:

[tex]1/a+1/b+1/c+1/d[/tex]

[loving_math]

Нека [tex]a,b,c,d[/tex] са реални числа, за които:

[tex]a+b+c+d=0[/tex]

[tex]abcd=1[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=2[/tex]

Да се пресметне:

[tex]1/a+1/b+1/c+1/d[/tex]

[tex]a+b+c=d=0 <=> a+b=-c-d= -(c+d) <=> c+d= -a-b = -(a+b)[/tex]

[tex]abcd=1 <=> ab=\frac{1}{cd } <=> cd = \frac{1}{ab }[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=2 <=> (a+b)(a^2-ab+b^2) + (c+d)(c^2-cd+d^2)=2 <=>[/tex]

[tex]<=> (a+b)[(a+b)^2 -3ab] + (c+d)[(c+d)^2 -3cd]=2 <=> (a+b)[(a+b)^2 -3ab] - (a+b)[(-a-b)^2 -3.\frac{1}{ab } ]=2[/tex]

[tex]<=> (a+b)[(a+b)^2-3ab-(a+b)^2 +\frac{3}{ab }]=2 <=> (a+b)(-3ab +\frac{3}{ ab} )=2[/tex]

[tex]a+b=x, ab=y => x(\frac{3}{y }-3y)=2 <=> 3x(\frac{1}{ y}-y)=2 <=> 3x.\frac{1-y^2}{y }=2 <=> x.\frac{1-y^2}{ y}=\frac{2}{3 }[/tex]



[tex]\frac{1}{a } + \frac{1}{ b} + \frac{1}{ c} + \frac{1}{d } =?[/tex]
[tex]\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd }=\frac{cd(a+b)+ab(c+d)}{1 }= \frac{1}{ab }. (a+b) - ab(a+b) = (a+b)(\frac{1}{ab }-ab)=[/tex]
[tex]=x(\frac{1}{ y}-y)=x.\frac{1-y^2}{ y} =\frac{2}{3 }[/tex]

[Гост]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1#p2786541 - друг начин за решение.