Ортоцентър и пресичащи се прави

[ins-]

Остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] е вписан в окръжност [tex]k(O)[/tex]. Височините през [tex]A, B, C[/tex] пресичат [tex]k[/tex] съответно в точките [tex]H_A, H_B, H_C[/tex]. [tex]A_1[/tex] е пресечната точка на [tex]OH_A[/tex] и [tex]BC[/tex], [tex]B_1[/tex] е пресечната точка на [tex]OH_B[/tex] и [tex]CA[/tex], [tex]C_1[/tex] е пресечната точка на [tex]OH_C[/tex] and [tex]AB[/tex]. Да се докаже, че [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex], [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една, обща точка.

[pipi langstrump]

Оцветените с един цвят ъгли не са равни, а са вписан и централен. Стандартни означения за ъглите при страните и радиуса на окр.

От синусова теорема za AC1O i C1BO имаме
[tex]\frac{AC_1}{sin2\alpha } = \frac{R}{sin(AC_1O)}[/tex]

[tex]\frac{C_1B}{sin2\beta } = \frac{R}{sin(180-(AC_1O))}[/tex] Делим почленно:

[tex]\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{sin2\alpha}{sin2\beta}[/tex]

По същия начин намираме, че [tex]\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{sin2\beta}{sin2\gamma}[/tex] и [tex]\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{sin2\gamma}{sin2\alpha}[/tex]

Значи [tex]\frac{AC_1}{C_1B}\frac{BA_1}{A_1C}\frac{CB_1}{B_1A} = 1[/tex] и от теоремата на Чева получаваме, че трите отсечки се пресичат в една точка.

[ins-]

Браво за решението! Дано да ти е харесала задачата.