Лесна, но красива

[Гост]

Остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. През върха [tex]C[/tex] е построена окръжност, която пресича страните [tex]AC[/tex], [tex]BC[/tex] и [tex]k[/tex], съответно, в точките [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex]. Да се докаже, че [tex]\angle {APM} = \angle {BPN}[/tex].

[drago]

Наистина е лесна. Предполагам никой не е правил чертеж, иначе нямаша да стои без решение. Или пък му се е сторила толкова лесна, че не не си е заслужавало да поства решение.
Имаме:
[tex]\angle CMP = \angle CNP \Rightarrow \angle AMP = \angle BNP[/tex].
[tex]\angle MAP = \angle NBP[/tex].
(като вписани в окръжности ъгли с равни мерки).
От горните 2 неща следва: [tex]\angle APM = \angle BPN[/tex].