Есенен математически турнир 2012

[Гост]

Здравейте, ще може ли някой да качи задачите? Благодаря предварително.

[Гост]

Ето ги.

[Гост]

Ето и резултатите.

[inveidar]

Така, като гледам, Видин пак е първи в отборното класиране за 12-ти клас!!! Интересно как НПМГ има 22 точки общо от 6 участника, като първият им е с 12, а последният - с 0 точки??? Срамота. Нали там са едни от най-добрите преподаватели?!

[Гост]

Ей Богу, как може на 12 клас да има толкова малоумна трета задача и само двама човека да имат над 19 (т.е. 6 6 7 0 поне)?

[Гост]

Всъщност ще може ли някой да качи и решенията?

[drago]

Така, като гледам, Видин пак е първи в отборното класиране за 12-ти клас!!! ...

Браво!
обаче резултатите на 4-тата на 11 и 12 клас искат разбор. Обърни внимание на резултатите на Варна на тази задача(11 клас). И знаеш ли какво означава това? Че са наблягали в/у тази тематика. А има ли нещо преживяно такова има и повече идеи, има и по-голям шанс да улучат печелившата.

[drago]

Eдин начин за справяне с 4-тата на 11 и 12 клас:
Твърдение:
Ако [tex]P(x)[/tex] e неразложим полином от степен [tex]\deg P \geq 2[/tex], то тогава съществува [tex]n[/tex], така че [tex]f(n)[/tex] НЕ дели [tex]n![/tex]

Да вземем едно дост. голямо [tex]n[/tex], така че [tex]P(n) >n[/tex]. Toгава, ако [tex]P(n)[/tex] e просто, то явно за него е изпълнено исканото. Нека сега [tex]p[/tex] e просто и [tex]p[/tex] дели [tex]P(n)[/tex]. Тогава ако [tex]n_1 \equiv n \pmod{p}[/tex] и [tex]0 \leq n_1 \leq p-1 \Rightarrow P(n_1) \equiv 0 \pmod{p}[/tex].
Освен това [tex]P(n_1) \neq 0[/tex], защото [tex]P[/tex] e неразложим.
Сега, преди това трябваше да се погрижим [tex]n_1[/tex] да е по-голямо от [tex]c[/tex] (от условието). Това можеше да направим като вземем всеички прости делители на [tex]P(0), P(1), P(2), \ldots, P(c)[/tex] и се погрижим [tex]p[/tex] да е различно от тях. Това вече е рутинна задача и трябва да е минавана в подготовката. Имам предви, че не може да има полином, със стойности, които се делят само на краен брой прости числа.
Продължавам нататък. Тогава, ако допуснем, че [tex]P(n_1)[/tex] дели [tex]n_1! \Rightarrow p[/tex] дели [tex]n_1![/tex], което е невъзможно, защото [tex]n_1 < p[/tex].

От там нататъка като се върнем към задачата от горното следва, че P се разлага до дупка на [tex]a(x-n_1)(x-n_2)\ldots(x-n_m)[/tex] и си правете сами заключението.

Трудна ли ви се струва?

[kucheto]

Ей Богу, как може на 12 клас да има толкова малоумна трета задача и само двама човека да имат над 19 (т.е. 6 6 7 0 поне)?

А, де? Аз реших да я пробвам, за да видя дали има някакво нормално решение (не като тяхното), и след умножаване на кръст и разкриване на скоби, получих (ако не съм объркал сметките, за което предварително се извинявам), че неравенството е еквивалентно на [tex]a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca[/tex], тоест неравенството се свежда до способност за разкриване на скоби. Още повече, че тази задача скоро я видях с периферното си зрение в mathlinks, а и съм убеден, че е някоя немалко известна. Странна работа...

[inveidar]

Eдин начин за справяне с 4-тата на 11 и 12 клас:
Твърдение:
Ако [tex]P(x)[/tex] e неразложим полином от степен [tex]\deg P \geq 2[/tex], то тогава съществува [tex]n[/tex], така че [tex]f(n)[/tex] НЕ дели [tex]n![/tex]

Да вземем едно дост. голямо [tex]n[/tex], така че [tex]P(n) >n[/tex].

Е как по-точно става това? В едно решение не може да се казва просто така. Трябва да се обясни възможно ли е това.

[drago]

Всъщност понеже не мога да поправям, незнайно каква е логиката да бъде така, ще напиша още един път твърдението с лека поправка:
Твърдение:
Ако [tex]P(x)[/tex] e неразложим полином от степен [tex]\deg P \geq 2[/tex], а [tex]c[/tex] e произволно естествено число, то тогава съществува [tex]n>c[/tex], така че [tex]f(n)[/tex] НЕ дели [tex]n![/tex].

А относно твоя въпрос как точно става така, че да вземем дост. голямо n, т.ч. P(n) > n : Toва разбира се е очевидно и мисля, че знаеш защо.
Всъщност, ако трябва да пиша решението начисто бих почнал така. Първо бих се подсигурил да взема всички прости делители на P(0),P(1),...,P(c). (между тях няма 0). След това бих взел такова n, т.ч. P(n) да има прост делител p различен от тях. След това бих продължил с намирането на [tex]n_1 \leq p-1[/tex],...
Искам да кажа, че това , за което питаш е вярно, но излишно.

[Гост]

Изглежда неравенството е "known result" (вижте най-долу в http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=505977 ). Пък после да си говорим за оригиналност на задачите и прочее.

[Гост]

Неравенството съм го виждал, ако не ме лъже паметта и 1:1 някъде.

[Гост]

още солете моля ви се

[Гост]

Може и още много повече да се соли, Принципно няма лошо, че е пускана задачата някъде. Но трябва да се отбележи, че състезанието не съдържа авторски задачи. А се случва човек да преоткрие нещо известно, също така. Не е зле, обаче да се следят повече източници на задачи, а хората предлагащи задачи имат тази възможност.

[inveidar]

А относно твоя въпрос как точно става така, че да вземем дост. голямо n, т.ч. P(n) > n : Toва разбира се е очевидно и мисля, че знаеш защо.
Всъщност, ако трябва да пиша решението начисто бих почнал така. Първо бих се подсигурил да взема всички прости делители на P(0),P(1),...,P(c). (между тях няма 0). След това бих взел такова n, т.ч. P(n) да има прост делител p различен от тях. След това бих продължил с намирането на [tex]n_1 \leq p-1[/tex],...
Искам да кажа, че това , за което питаш е вярно, но излишно.

Първо да уточня, че не се заяждам. След това не смятам, че да вземем дост. голямо n, т.ч. [tex]P(n) > n[/tex] е очевидно. И трето - не ми е ясно дори на мен втория червен абзац. Как така ще го вземеш. Би ли обяснил по-подробно? Предварително се извинявам, че не съм достатъчно умен за да го разбера.

[Гост]

По първото: Имал съм в превид, че при дост. голямо n, |f(n)| >n. Знакът на f(x) няма никакво значение в тази задача, тъй като става въпрос за делимост и съм написал малко на алангро f(n) >n, което, ако трябва да бъдем точни не е вярно.
Или по друг начин казано можем да считаме, че старшият коефициент на f(x) e положителен(ако трябва умножаваме с -1)
А защо при това положение f(n) >n при дост. гол. n? Ами защото [tex]\lim_{n\to \infty} \frac{f(n)}{n} = \infty[/tex]. (f е от поне 2-ра степен).

Относно втророто в червено. Това е известно твърдение и не е съвсем очевидно. Ако официалното решение не използва този факт и няма откъде да се види ще гледам да го постна и евентуално реша като самостоятелна задача.

[inveidar]

Оригиналното решение.
И тук много неща не са ми ясни. Например какво означава: простите делители на [tex]g(x)[/tex] са безбройно много ? За фиксирано хикс или за всяко хикс?

ofic.JPG (127.38 KiB) Прегледано 4611 пъти

[Гост]

Изглежда неравенството е "known result" (вижте най-долу в http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=505977 ). Пък после да си говорим за оригиналност на задачите и прочее.

Там е за положителни числа.

[Гост]

Оригиналното решение.
И тук много неща не са ми ясни. Например какво означава: простите делители на [tex]g(x)[/tex] са безбройно много ? За фиксирано хикс или за всяко хикс?

Съществуват безбройно много прости числа, които делят стойности на полинома в естествени числа. Обикновено го наричат лема на Шур - вж. например http://www.mit.edu/~alexrem/Polynomials.pdf, стр. 3 долу. Тук е написано лошо.

[drago]

Ами оригиналното решение е същото като това, което съм написал.
Хм, а това се казвало лема на Шур, забравил съм...
Иначе линка в поста отгоре е хубав. Има събрани на едно място доста неща, необходими да се знаят, а също и хубави задачи!

[inveidar]

Изглежда неравенството е "known result" (вижте най-долу в http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=505977 ). Пък после да си говорим за оригиналност на задачите и прочее.

Там е за положителни числа.

Неравенството се свежда елементарно до положителни числа като се използва, че
[tex]\frac{1}{t^2+t+1 }\ge \frac{1}{t^2+|t|+1 }[/tex], което е посочено и в решението от книжката и което май е единствения принос на човека, предложил задачата. Обърнете внимание, че от преди доста години беше повдигнат въпроса за авторството на задачите и от тогава вече се пише, че задачите са предложени от еди кой си(преди това пишеха автор, но това беше наистина доста отдавна!).

[inveidar]

Съществуват безбройно много прости числа, които делят стойности на полинома в естествени числа. Обикновено го наричат лема на Шур - вж. например http://www.mit.edu/~alexrem/Polynomials.pdf, стр. 3 долу. Тук е написано лошо.

Ще пуснеш ли и други линкчета от същия човек за други материали? Не съм много нахален, нали?

[Гост]

Ще може ли някой да прати линк за авторските решения на задачите от 8ми клас ? Благодаря предварително !

[Гост]

Съществуват безбройно много прости числа, които делят стойности на полинома в естествени числа. Обикновено го наричат лема на Шур - вж. например http://www.mit.edu/~alexrem/Polynomials.pdf, стр. 3 долу. Тук е написано лошо.

Ще пуснеш ли и други линкчета от същия човек за други материали? Не съм много нахален, нали?

http://www.mit.edu/~alexrem/Math%20Competitions.html