Пролетен математически турнир 2003-9 клас

[mousehack]

Даден е успоредник ABCD с остър ъгъл при върха А.Точките E и F са петите на перпендикулярите от С съответно към правите АВ и AD.Окръжност минава през точките D и F,и допира диагинала АС в точка Q,а друга окръжност минава през В и Е,и допира диагонала QC в средата и P.Ако AQ=1,да се намери дължината на АС.

[martin123456]

питагорова т-ма учили се

[mousehack]

Да!Учи се.

[martin123456]

ми тогава не е ли просто
нека страните на успоредника са a,b. нека дължината на средата на DF e x, a на BE e z, а на QP e x.
от двете допирателни
[tex]1=b(b+2y)[/tex]
[tex](1+x)^2=a(a+2z)[/tex]
от подобните DFC, BEC имаме [tex]yb=az[/tex]
от питагор за ACE, CBE
[tex](1+2x)^2=(a+2z)^2+CE^2[/tex]
[tex]b^2=4z^2+CE^2[/tex]
сега сметки?