Уравнение

[Гост]

Най-голямото a,за което уравнението [tex]x^4-2ax^3+a(a+1)x-2ax+a^2=0[/tex] има реален корен,е равно на ? Ако може да дадете цяло решение,а не само отговорът

[Xixibg]

Най-голямото a,за което уравнението [tex]x^4-2ax^3+a(a+1)x-2ax+a^2=0[/tex] има реален корен,е равно на ? Ако може да дадете цяло решение,а не само отговорът

Условието не е ли така:
[tex]x^4-2ax^3+a(a+1)x^2-2ax+a^2=0[/tex]

[Гост]

Така е,както ти казваш,извинявам се,това е условието.

[Гост]

Тоест ,като сведем уравнението до: [tex](x^2+1)(x-a)^2+x^2(a-1)=0[/tex] ясно е,че [tex]a=1[/tex] е търсената стойност.Но има една забележка към задачата,че при [tex]а<1[/tex] задачата винаги има решение,но как да го докажа ?

[Гост]

Тоест ,като сведем уравнението до: [tex](x^2+1)(x-a)^2+x^2(a-1)=0[/tex] ясно е,че [tex]a=1[/tex] е търсената стойност.Но има една забележка към задачата,че при [tex]a<1[/tex] задачата винаги има решение,но как да го докажа ?

[grav]

Не е необходимо да доказваш това. Трябва да покажеш, че при а>1 няма решения, което е очевидно. Тогава а=1 ще е най-голямото а, за което урванението има решение.

[Гост]

Не е необходимо да доказваш това. Трябва да покажеш, че при а>1 няма решения, което е очевидно. Тогава а=1 ще е най-голямото а, за което урванението има решение.

Да де,то това ясно,но към задачата има такава забележка,че може да се докаже,че при а<1 винаги има решение.Та как мога да докажа това?

[grav]

[tex](x^2+1)(x-a)^2=(1-a)x^2[/tex]

Функцията от лявата страна е нула за x=a и е a^2 за x=0, тази от дясно е нула за x=0 и е положителна за x=a, защото a<1. Следователно в интервала [0,a] (или [a,0] в зависимост дали а е положително или не) има точка в която функциите имат една и сьща стойност.