Сума

[Гост]

Намерете сумата [tex]S=1.2+4.4+7.8+...+(3n-2).2^n[/tex] ,където n е естествено.
Моята идея е следната:
[tex]S=3(1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n) - 2(2^1+2^2+2^3+...+2^n)[/tex]
В дясната част на израза имаме геометрична прогресия,а [tex](1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n)[/tex] ни е сбор от сумите на [tex]n[/tex] геометрични прогресии съответно: първата с членове[tex]2,2^2,2^3,...,2^n[/tex] ; втората с членове- [tex]2^2,2^3,2^4,...,2^n ;...; (n-1)[/tex]-вата с членове [tex]2^{n-1},2^n[/tex] и [tex]n[/tex]-тата състояща се само от един член- [tex]2^n[/tex].
Та като идея добро ли е и вярно ли е?Нека,ако някой има друго предложение да го драсне .

[pipi langstrump]

Опитай го, може да е добро
Има и по-лесен начин, но ти опитай с твоя.

[Гост]

Аз съм го опитал и си върши работа аз също знам един начин,който малко не мога да разбера.Кажи ти твоя после аз ще дам линк към този начин,за който говоря.

[Гост]

И точно,защото не схванах този другия начин се опитах да измисля друг (това беше на олимпиадата) и измислих горепосочения.

[ganka simeonova]

Става и без производни и прочие
Нека [tex]S=1.x+2.x^2+3.x^3+...+nx^n[/tex]
Умножаваме двете страни по [tex](1-x)=>[/tex]

[tex](1-x)S=S-xS=1.x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n-x^2-2x^3-3x^4-4x^5-...-nx^{n+1}[/tex]

[tex](1-x)S=x+x^2+x^3+...+x^n-nx^{n+1}[/tex]

[tex](1-x)S=x\frac{1-x^n}{ 1-x} -nx^{n+1}[/tex]... остава да преобразуваш и си готов. Накрая замести х=2.