Задачи от олимпиада 2012/2013

[Гост]

Някой знае ли от къде могат да се намерят задачите за 12-ти клас от общинския кръг, който се проведе на 15-ти този месец? Проверих в mon.bg след това в riobg.com няма нищо. Търсих в гугъл има само някакви стари олимпиади, които са се индексирали там всички други резултати не са по темата. За нито една област не мога да намеря задачите.
Трябват ми само условията на задачите решенията не са ми необходими.

[strangerforever]

Няма ги качени. Мога да ти дам тези от Стара Загора, ако искаш, но са прекалено тривиални.

[ganka simeonova]

12 клас, общински кръг, София- град

1зад) Докажете, че [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(cos{\frac{\alpha }{2 } }cos{\frac{\alpha }{ 2^2}} ....cos{\frac{\alpha }{ 2^n}}) =\frac{sin\alpha }{\alpha }[/tex], при [tex]\alpha \in (0; \frac{\pi }{ 2} )[/tex].

2зад) За всяко [tex]a>0[/tex]да се намери най-голямата стойност на функцията

[tex]y=\frac{1}{3 } (x-a)^3+(x-a)^2[/tex] в интервала [tex]x\in [-2; 0][/tex].

3зад) Даден е куб [tex]ABCDA_1B_1C_1D_1[/tex].Равнина [tex]\lambda[/tex], минаваща през [tex]A_1D_1[/tex] сключва с равнината [tex](ADD_1)[/tex]ъгъл, равен на [tex]\alpha[/tex].
Полученото сечение има лице [tex]m[/tex]кв. ед. и разделя куба на две части. Намерете отношението на обемите на получените части.

[pipi langstrump]

1зад) Докажете, че [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(cos{\frac{\alpha }{2 } }cos{\frac{\alpha }{ 2^2}}...cos{\frac{\alpha }{ 2^n}}\right) =\frac{sin\alpha }{\alpha }[/tex], при [tex]\alpha \in (0; \frac{\pi }{ 2} )[/tex].

[tex]\lim \, cos{\frac{\alpha }{2 } }cos{\frac{\alpha }{ 2^2}} .... cos{\frac{\alpha }{ 2^n}} = \lim \frac{2cos{\frac{\alpha }{2 } }sin{\frac{\alpha }{2 } }2cos{\frac{\alpha }{ 2^2}}sin{\frac{\alpha }{ 2^2}} ....2cos{\frac{\alpha }{ 2^n}}sin{\frac{\alpha }{ 2^n}}}{2^n sin{\frac{\alpha }{2 } } sin{\frac{\alpha }{ 2^2}} ....sin{\frac{\alpha }{ 2^n}}} = \lim\frac{sin \alpha sin{\frac{\alpha }{2 } } sin{\frac{\alpha }{ 2^{n-1}}}}{ 2^n sin{\frac{\alpha }{2 } } sin{\frac{\alpha }{ 2^2}} ....sin{\frac{\alpha }{ 2^n}}} = \lim\frac{sin \alpha }{2^n sin{\frac{\alpha }{ 2^n}} }[/tex]

И сега трябва да преминем към граници на функции и смяна на променливата, но не съм сигурен дали това е позволено в 12 клас. В краен случай можем да използваме лице на кръг.

[inveidar]

Позволено е. Има теорема за граница на функция от функция.

[Гост]

И от Стара Загора е хубаво да се видят, а и не само. Това си е значително математическо събитие.

[Гост]

pipi,може ли да си постнеш и 2те решения и ако може да кажете какво гласа тази теорема за границите .

[Гост]

Благодаря за задачите от София. Пуснах тази тема, защото си мислех, че ги има някъде качени и просто аз не успявам да ги намеря. Не е никак трудно от мон да качат задачите за всички области в техния официален саит, но явно не ги интересуват тези неща.

[Гост]

И на сайтовете на регионалните инспекторати може да се появят.

[Гост]

pipi,може ли да си постнеш и 2те решения и ако може да кажете какво гласа тази теорема за границите .

Oт горното решение.
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{\sin{\alpha}}{2^n\sin{\frac{\alpha}{2^n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin {\alpha}}{\sin{\frac{\alpha }{ 2^n}}\frac{\alpha}{\frac{\alpha}{2^n}}} = \frac{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha} } {\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{\frac{\alpha}{2^n}}}{\frac{\alpha}{2^n}}}}[/tex]

Полагаш [tex]x=\frac{\alpha}{2^n}[/tex] от там, когато n клони към безкрайност x ти клони към 0. Тази граница [tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}[/tex] е равна на едно( има я в учебника за 12-ти клас доказана).
От там остава само границата в числителя на дробта, която не зависи от n и с това твърдението е доказано.

Втората задача е по лесна. Просто си изследвай функцията както обикновенно. Намери производните и наблюдавай изменянето при a>0 . В интервала [-2;0] за x функцията расте при всяко а, като y(a-2) е локален макс. От там най-голямата стойност ти е в нулевата точка.

[Гост]

А някой дали може да публикува и задачите за 9-ти клас от общинския кръг в София-област,който се проведе на 16ти?

И на мен ми трябват ми само условията на задачите.

[Mr.G{}{}Fy]

Ето задачите от Търговище - http://prikachi.com/images/505/5638505G.jpg Само дето на мен темата ми мязаше като тема за 11 клас Нищо чудно на 11-класниците да са дали абсолютно същата.

[Гост]

http://math-bg.com/wp-content/uploads/2 ... 2_kl_U.pdf

1:1 е с темата за Пловдив от миналата година. Никаква креативност ...

[pipi langstrump]

chuдех се къде да ги пусна тия задачки и си помислих, че биха станали за някоя low-level олимпиада за 12 клас на тема анализ и по-спец. граници.

1. Да се намерят границите

a) [tex]\lim_{n\to\infty }\,n\left(\frac{\pi^2 }{6} - \sum_{\nu = 1}^{n}\frac{1}{\nu^2}\right) := l_1[/tex]

б) [tex]\lim_{n\to\infty }\,n\left(n\left(\frac{\pi^2 }{6} - \sum_{\nu = 1}^{n}\frac{1}{\nu^2}\right) - l_1\right) :=l_2[/tex]

в) [tex]\lim_{n\to\infty }\,n\left(n\left(n\left(\frac{\pi^2 }{6} - \sum_{\nu = 1}^{n}\frac{1}{\nu^2}\right) - l_1\right) - l_2\right)[/tex]

2. Да се намерят границите

a) [tex]\lim_{n\to\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{\nu}} := l_1[/tex]

б) [tex]\lim_{n\to\infty }\, \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{\nu}} -l_1\right):=l_2[/tex]

в) [tex]\lim_{n\to\infty }\, \sqrt{n}\left(\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{\nu}} -l_1\right) - l_2\right)[/tex]

Задачите трябва да се решат с училищни знания, т.е. без интеграли, редове и подобни.