Екстремална геометрична

[Mr.G{}{}Fy]

В равнината са дадени 3 точки:A,B и C .Да се прекара права l така,че сумата на разстоянията от A и B до l да бъде:
а)минимална
б)максимална

[ganka simeonova]

В равнината са дадени 3 точки:A,B и C .Да се прекара права l така,че сумата на разстоянията от A и B до l да бъде:
а)минимална
б)максимална

Къде да се прекара. През С ли?

[Mr.G{}{}Fy]

Да,през точката С.Извинявам се!

[drago]

Без да е съвсем издържано, ще предложа един начин. Нека равнината [tex]ABC[/tex]е успоредна на земята, и е вдигната на някакво разстояние над нея. Правата [tex]\ell[/tex]може да се върти свободно около т. [tex]C[/tex]., като остава в равнината [tex]ABC[/tex]. Към правата [tex]\ell[/tex] , като към релса са закрепени две тролейни макари [tex]H_1[/tex] и [tex]H_2[/tex], които могат да се пързалят свободно по нея. От тях излизат две нишки, които минават съответно през други макари, закрепени неподвижно в точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] и на тях висят надолу към земята 2 еднакви тежести. Сега, ако оставим тази система свободно, тя ще отиде в състояние на най-малка потенциална енергия, т.e. когато [tex]AH_1 + BH_2[/tex] е най-малко. В това състояние правата [tex]\ell[/tex] трябва да се намира в устойчиво равновесие. Тъй като имаме 2 еднакви сили, които дърпат перпендикулярно на [tex]\ell[/tex] , за да стане това трябва или [tex]CH_1 = CH_2[/tex] или [tex]\ell[/tex] да съвпада с някоя от правите [tex]CA[/tex] или [tex]CB[/tex].
При [tex]CH_1 = CH_2[/tex] имаме 2 случая, но и двата са неустойчиво равновесие. Да допуснем за определеност, че [tex]CA \geq CB[/tex]. Тогава, ако [tex]\ell[/tex] съвпада с някоя от правите [tex]CA[/tex] или [tex]CB[/tex], може да има устойчиво равновесие, само когато [tex]\ell[/tex] съвпада с [tex]CA[/tex].
Аналогично максимален сбор имаме само когато системата е в неустойчиво равновесие, т.е. в един от двата случая, за които [tex]CH_1 = CH_2[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Drago,можеш ли да представиш по-математическо решение,защото честно казано от това не разбрах много
Отговор на задачата:минимум имаме,когато търсената права съвпада с CA или CB ,а максимумът е max(|AB|,|AB`|) и се достига,когато търсената права е прерпендикулярна на AB или AB`,където B` е симетричната на B относно C.
Естествено,желателно е освен да докажем горното твърдение да стигнем до него по начин,чрез който доказваме ,че няма други минимуми/максимуми.

[drago]

Drago,можеш ли да представиш по-математическо решение,защото честно казано от това не разбрах много

Мога, но е хубаво да разбереш това. Това, което си написал, че е макс/мин съвпада с моето твърдение. Което не е случайно

[Mr.G{}{}Fy]

Ясно,би ли постнал и математическото решение,а аз ще се пробвам да усвоя и двете решения.

[drago]

Taka, имам малко повече време за да напиша и някакво по-математическо решение. То ще използва диференцируемостта на величината [tex]AH_1+BH_2[/tex] (в означенията на горния пост). Така че, който иска решение без производни може да не чете по-нататък. Според мен няма нищо по естествено да се използва диференциране в екстремални задачи.
Нека въведем някаква независима променлива, която ще определи напълно положението на [tex]\ell[/tex]. Например [tex]\phi=\angle AC\ell[/tex]. Toгава величината [tex]f=AH_1+BH_2[/tex] ще е някаква функция на [tex]\phi[/tex].
[tex]\angle BC\ell = const-\phi;\, AH_1=CA\cdot \sin\phi;\, (AH_1)'_{\phi}=CA\cdot \cos\phi=CH_1[/tex]
[tex]BH_2=CB\sin(const-\phi),\, (BH_2)'_{\phi}=-CB\cdot \cos(const-\phi)=-CH_2[/tex]
Значи [tex]f'=CH_1-CH_2[/tex]. Производната съществува за всяко [tex]\phi\neq 0[/tex] и [tex]\phi\neq \angle ACB[/tex] , т.е. с изключение когато [tex]\ell[/tex] съвпада с [tex]CA[/tex] или [tex]CB[/tex]. Там се държи като [tex]|x|[/tex] в [tex]0[/tex]-та.
Сега вече се съобразява, кога [tex]f'[/tex] е [tex]0[/tex] и съответно положителна, отрицателна.