Скаларно произведение

[Гост]

Здравейте, за много години! Ще Ви бъда благодарен за някакви идеи как следните задачи могат да се решат със скаларно произведение на вектори (мъчих ги, но не успях да ги изкарам, може би не вървя в правилната посока):
1. Върху страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex] са взети съответно точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] така, че [tex]BP = BQ[/tex]. Точката [tex]H[/tex] е петата на перпендикуляра, построен от точката [tex]B[/tex] към правата [tex]CP[/tex]. Докажете, че [tex]\angle DHQ = 90 ^\circ[/tex] (вероятно трябва да докажем, че [tex]\vec{HD}.\vec{HQ} = 0[/tex]).
2. Медианите към бедрата на равнобедрен триъгълник сключват ъгъл [tex]60^\circ[/tex] . Намерете косинуса на ъгъла между бедрата на триъгълника. (тази успях да я реша, но без скаларно произведение)

[Гост]

Мисля, че успях сам да се справя с втората задача, надявам се това решение да е правилно:
Нека [tex]\angle PCB=\alpha[/tex], страната на квадрата е [tex]a[/tex], [tex]BP=BQ=x[/tex].
[tex]\vec{HD}.\vec{HQ}=(\vec{HC}+\vec{CD})(\vec{HC}+\vec{CQ})={\vec{HC}}^2 + \vec{HC}.\vec{CQ}+\vec{CD}.\vec{HC}+\vec{CD}.\vec{CQ}=HC^2-\vec{CH}.\vec{CQ}-\vec{CD}.\vec{CH}+0=[/tex]
[tex]=HC^2-CH.CQ.cos\alpha-CD.CH.cos(90^\circ - \alpha)=HC^2-CH.CQ.cos\alpha-CD.CH.sin\alpha[/tex]
Сега [tex]x = a.tg\alpha (\Delta PBC), CH=a.cos\alpha (\Delta HBC), CQ=a-x=a(1-tg\alpha)[/tex]
[tex]\Rightarrow \vec{HD}.\vec{HQ}=a^2{cos^2\alpha}-a.cos\alpha . a . (1 - tg\alpha) . cos\alpha - a.a.cos\alpha.sin\alpha =a^2(cos^2{\alpha} - cos^2{\alpha}(1 - tg\alpha) - cos\alpha . sin \alpha)=[/tex] [tex]= a^2( \cancel { cos^2\alpha } - \cancel { cos^2\alpha } + cos^2\alpha tg \alpha - cos\alpha . sin \alpha) =[/tex]
[tex]= a^2 ( \frac { \cancel { cos\alpha } . cos\alpha . sin\alpha } { \cancel { cos\alpha } } - cos\alpha . sin\alpha )=a^2 {cos\alpha . sin \alpha - cos\alpha . sin \alpha} = 0[/tex]

[Гост]

Поправка: Имах предвид първата задача.