Геометрична задача от скоро проведена олимпиада

[Гост]

Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] ([tex]AB||CD[/tex]) с [tex]\angle ABC>90^0[/tex]. [tex]M[/tex] е произволна точка от бедрото [tex]AD[/tex]. Нека [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] са центровете на описаните съответно около триъгълниците [tex]MAD[/tex] и [tex]MBC[/tex] окръжности. Описаните около триъгълниците [tex]MO_1D[/tex] и [tex]MO_2C[/tex] окръжности, се пресичат за втори път в точка [tex]N[/tex]. Докажете, че правата [tex]O_1O_2[/tex] минава през точка [tex]N[/tex].

Твърде лесна ми се струва. Достатъчно е да си направите чертеж и да имате елементарни познания от 8-ми клас.

[inveidar]

Ето ви и чертежа:

xxx.png (43.94 KiB) Прегледано 406 пъти

[drago]

Мисля, че за 8-ми клас хич не твърде лесна!
Пък и въобще е добра. Бих изпитал затруднение да напиша решението на тази задача.

[inveidar]

Затруднение?! Ми то трябва просто да сметнеш зелените ъгълчета и си готов.
А и задачата не е за 8-ми клас.

[inveidar]

[tex]O_1M=O_1D[/tex] и [tex]O_2M=O_2C[/tex] като радиуси в окръжности, откъдето [tex]\angle O_1MD=\angle O_1DM =\frac{180^0-\angle MO_1D }{2 }[/tex] и [tex]\angle O_2MC=\angle O_2CM =\frac{180^0-\angle MO_2C }{2 }[/tex].
Но [tex]\angle MO_1D =2\alpha[/tex], а [tex]\angle MO_2C= \widehat{MBC} = 360^0-(360^0-2\alpha)= 2\alpha[/tex] и като заместим тези ъгли в предишните равенства, получаваме [tex]\angle O_1MD=\angle O_2MC=90^0-\alpha[/tex].
Остава да забележим, че [tex]\angle MNO_2= \angle O_2CM=90^0-\alpha[/tex](вписани!), а [tex]\angle MNO_1=\angle O_1DM= 90^0-\alpha[/tex](отново вписани!). И това е.

[drago]

ОК, аз казах "затруднение да напиша", не да реша!
Имах нещо впредвид,... явно съм грешал.
Добре, аз виждам задачата така:
Дадени са два подобни еднакво ориентирани триъгълника, които има общ връх: [tex]\triangle OAB,\, \triangle OA_1B_1[/tex]. Да се докаже, че пресечната точка на окръжностите описани около тях съвпада с пресечната точка на [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex]