Има точка в изпъкнала фигура със свойството...

[drago]

Нека [tex]X[/tex] е изпъкнала фигура в равнината. Да се докаже, че съществува точка [tex]O\in X[/tex] със следното свойство.
Да вземем произволна права през [tex]O[/tex]. Отсечката, която се получава при пресичането на правата с [tex]X[/tex] се разделя от [tex]O[/tex] на две части. Тогава отношението на по-голямата към по-малката не надминава 2.

[drago]

Много интересна задача! Давана е в Квант преди доста време. Има много хубаво решение с теоремата на Хели.
Друг подход е да се докаже, че центъра на тежестта на X изпълняява условието.

[drago]

Оригиналното решение в сп. Квант-зад.М529- може да видите тук:
http://kvant.mccme.ru/1979/09/p24.htm

Същото, но на английски-тук:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 78#p114878

Доказателство прилагащо теоремата на Хели- тук:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 59#p115759

Моето решение, доказващо че центърът на тежестта изпълнява условието- тук:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5#p2937805

Според мен, най-лесно е това с теоремата на Хели, най-конструктивно- моето